cho tam giác ABC vuông tại A,đường phân giác trong và ngoài góc C cắt AB lần lượt tại D,E.Tính AD,AE biết AB=6,AC=8
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét ΔCBA vuông tại B có
\(\tan\widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\widehat{ACB}\simeq36^052'\)
Vậy: \(\widehat{ACB}\simeq36^052'\)
b)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔCBA vuông tại B, ta được:
\(AC^2=BA^2+BC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=6^2+8^2=100\)
hay \(AC=\sqrt{100}=10\)
Xét ΔCBA có AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(gt)
nên \(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)
hay \(\frac{6}{BD}=\frac{10}{CD}\)
Ta có: BD+CD=BC(D nằm giữa B và C)
hay BD+CD=8
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{6}{BD}=\frac{10}{CD}=\frac{6+10}{BD+CD}=\frac{16}{8}=2\)
\(\Leftrightarrow BD=\frac{6}{2}=3\)
Xét ΔABD vuông tại B có
\(\tan\widehat{ADB}=\frac{AB}{BD}=\frac{6}{3}=2\)
đặt E thuộc BC sao cho AB=BE
Xét tam giác BAD và tam giác BED
^ABD=^EBD ( gt)
BD-cạnh chung
BA=BE(dựng hình)
=>tam giác BAD = tam giác BED
=>AD=DE(2 cạnh tương ứng)
=> ^BAD=^DEB(2 góc tương ứng)
kẻ tia đối của tia AB là tia Ax.
Ta có : ^xAD +^BAD=180o(kề bù)
^DEB+^DEC=180o(kề bù)
^BAD=^DEB ( cmt)
=> ^xAD=^DEB
ta có : ^xAD là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC
=>^xAD>^C
=>^DEC>^C
=>DE<DC
mà AD=DE(cmt)
=>AD<DC
Cách 2 :
kẻ DE vuông góc BC tại E
dễ dàng suy ra tam giác ABD= tam giác BED ( ch-gn)
=>AD=DE( 2 cạnh tương ứng)
=>DE<DC ( cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
mà AD=DE
=> AD<DC
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy)
mà \(\widehat{ABD}=\frac{\widehat{ABC}}{2}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
và \(\widehat{ACE}=\frac{\widehat{ACB}}{2}\)(CE là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\))
nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
Xét ΔABD và ΔACE có
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(cmt)
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{A}\) chung
Do đó: ΔABD=ΔACE(g-c-g)
\(\Rightarrow\)BD=CE(hai cạnh tương ứng)
Ta có: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\)
Vì CD là phân giác trong góc C
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow BD=\dfrac{5}{4}AD\)
Ta có: \(AD+BD=AB\Rightarrow AD+\dfrac{5}{4}AD=6\Rightarrow\dfrac{9}{4}AD=6\Rightarrow AD=\dfrac{8}{3}\)
Vì CD,CE lần lượt là phân giác trong và ngoài góc C
\(\Rightarrow CD\bot CE\Rightarrow\Delta DCE\) vuông tại C có \(AC\bot DE\)
\(\Rightarrow AD.AE=AC^2\Rightarrow AE=\dfrac{AC^2}{AD}=\dfrac{8^2}{\dfrac{8}{3}}=24\)