Question

[Đào Thu Hiền]

Một bàn cờ có 64 ô; 32 ô trắng có tâm lần lượt là A₁, A₂, ..., A₃₂; 32 ô đen có tâm lần lượt là B₁, B₂, ..., B₃₂. Chứng minh rằng với điểm M bất kì trên bàn cờ đều có: MA₁² + MA₂² + ... + MA₃₂² = MB₁² + MB₂² + ... + MB₃₂²

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi I là tâm bàn cờ

Khi đó I là trung điểm các đoạn \(A_1A_{32};A_2A_{31}...B_1B_{32};B_2B_{31}...\)

Đồng thời các tứ giác \(A_1B_4A_{32}B_{29};B_1A_4B_{32}A_{29}...\) là các hình chữ nhật nên ta có:

\(IA_1=IB_4;IA_{32}=IB_{29}...\) (1)

Do đó:

\(VT=MA_1^2+MA_2^2+...+MA_{32}^2\)

\(=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA_1}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA_2}\right)^2+...+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA_{32}}\right)^2\)

\(=32MI^2+IA_1^2+...+IA_{32}^2+2\left(\overrightarrow{IA_1}+\overrightarrow{IA_{32}}\right)+2\left(\overrightarrow{IA_2}+\overrightarrow{IA_{31}}\right)+...\)

\(=32MI^2+IA_1^2+...+IA_{32}^2\)

Tương tự:

\(VP=32MI^2+IB_1^2+...+IB_{32}^2=VT\) theo (1)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]