Question

[Thầy Cao Đô]

Cho $\triangle A B C$ có $A B<A C$. Tia phân giác của $\widehat{A}$ cắt đường thẳng vuông góc với $B C$ tại trung điểm của $B C$ ở $D$. Gọi $H$ và $K$ là chân các đường vuông góc kẻ từ $D$ đến các đường thẳng $A B$, $A C$. Chứng minh $B H=C K$.

Answer 1

[Vũ Phương Anh]

Ta có $D$ thuộc phân giác của $\hat{A}$;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

$\widehat{BGD}=\widehat{CGD}=90^{\circ }$ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

$\widehat{BHD}=\widehat{CKD}=90^{\circ }$ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó $△BHD=△CKD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BH=CK$ (hai cạnh tương ứng).

Answer 2

[Nguyễn Ngọc Khôi Nguyên]

Ta có $D$ thuộc phân giác của $\hat{A}$;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

$\widehat{BGD}=\widehat{CGD}=90^{\circ }$ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

$\widehat{BHD}=\widehat{CKD}=90^{\circ }$ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó $△BHD=△CKD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BH=CK$ (hai cạnh tương ứng).