Câu hỏi của Sách Giáo Khoa

Question

Xác định m để hàm số

$y=x^3-mx^2+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)x+5$

có cực trị tại $x=1$. Khi đó hàm số đạt cực tiêu hay đạt cực đại ? Tính cực trị tương ứng ?

Giáo viên Toán · Accepted Answer

$y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)$

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì x =1 phải là nghiệm của y'=0.

=> $3.1^2-2m.1+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=0$

$\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}$

Khi đó ta có:

$y=x^3-\dfrac{7}{3}x^2+\dfrac{5}{3}x+5$

$y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\left(9x^2-14x+5\right)$

$y'$ có 2 nghiệm là $1$ và $\dfrac{5}{9}$.

$y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 1 nên tại x = 1 thì hàm số đạt cực tiểu.

Giá trị cực tiểu tại x = 1 là:

$y\left(1\right)=1^3-\dfrac{7}{3}.1^2+\dfrac{5}{3}.1+5=\dfrac{16}{3}$Câu trả lời: $y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)$