Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\left(\frac{3}{4}a+\frac{5}{4}b\right)^2+\frac{7}{16}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\left(\frac{3}{4}a+\frac{5}{4}b\right)^2}=\frac{3a+5b}{4}\)
Tương tự \(\sqrt{b^2+2c^2+bc}\ge\frac{3b+5c}{4};\sqrt{c^2+2a^2+ca}\ge\frac{3c+5a}{4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+2b^2}+\sqrt{b^2+2c^2+bc}+\sqrt{c^2+2a^2+ca}\ge\frac{3a+5b+3b+5c+3c+5a}{4}\)
\(=2\left(a+b+c\right)\left(đpcm\right)\)
\(2.\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\)(a,b >=0)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\)(luôn đúng với mọi a,b >=0)
Vì BĐT cuối đúng nên BĐT đầu đúng
ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{4ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Vì a,b là các số không âm nên \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow a+b+a+b\ge a+2\sqrt{a}.\sqrt{b}+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\left(ĐPCM\right)\)
\(\sqrt{a}b\left(\sqrt{a}+1\right)+\left(\sqrt{a}+1\right)\)1)
\(\left(\sqrt{a}b+1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)\)
Bất đẳng thức mang tính hoán vị của các biến nên không mất tính tổng quát,giả sử a là số lớn nhất trong các số:a,b,c
Với \(a\ge b\ge c\)thì VP âm trong khi đó VT luôn dương nên bất đẳng thức luôn đúng.
\(\Rightarrow a\ge c\ge b\)
Biến đổi biểu thức tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^6\ge108\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2\)
Mặt khác:
\(\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2=\left[\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)\right]^2\le\left(a-c\right)^2\cdot a^2\cdot c^2\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta được:
\(4\left(a-c\right)^2\cdot c^2\cdot a^2=2ac\cdot2ac\left(a-c\right)^2\le\frac{\left[\left(a-c\right)^2+2ac+2ac\right]^3}{27}=\frac{\left(a-c\right)^6}{27}\)
\(\Rightarrow\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2\le\frac{\left(a+c\right)^2}{108}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^6\ge\left(a+c\right)^6\ge108\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge6\sqrt{3}\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Bất đẳng thức được chứng minh.
mời anh giúp em câu này
(x2+1)2+3x (x2+1)2+2x2=0
x3+6x+12x +8x3 -21=0
đó 2 câu này thôi
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
=> đpcm
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b^2\right)\ge0\)
(Luôn Đúng)
BĐT \(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
tth: đề bài thiếu đk nhé.
Thiếu đk a,b \(\ge0\)
Đây là AM-GM 2 số
Giả sử \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Đúng)
Vậy \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
P/S: Ko chắc , e ms lớp 7
Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{4ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\left(ĐPCM\right)\)