Question

[Trần Thùy]

Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (A,B là các tiếp điểm). Một cát tuyến qua M, cắt (O) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D). 

a) Chứng minh: AC.DB=AD.CB

b) Phân giác CAD cắt CD tại I. Chứng minh BI là phân giác góc CBD.

Answer 1

[Pandora Ann]

a)

MA và MB là các tiếp tuyến của (O)

=> OM _I_ AB mà C thuộc OM

=> AC = BC 

OB = OA = OC = OD ( = R)

=> \(\Delta ACD\) vuông tại A và \(\Delta BCD\) vuông tại B

\(\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCD\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ACD~\Delta BCD\)

\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}\)

\(\Rightarrow AC\times BD=AD\times BC\left(\text{đ}pcm\right)\)

b)

AI là đpg của \(\Delta ACD\)

\(\Rightarrow\frac{IC}{ID}=\frac{AC}{AD}\) mà \(\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}\)

\(\Rightarrow\frac{IC}{ID}=\frac{BC}{BD}\)

=> BI là đpg của \(\Delta BCD\) (đpcm)

Answer 2

[Hoàng Long]

a) MA và MB là các tiếp tuyến của (O)

=> OM _I_ AB mà C thuộc OM

=> AC = BC 

OB = OA = OC = OD ( = R)

=> \Delta ACDΔACD vuông tại A và \Delta BCDΔBCD vuông tại B

\Rightarrow\Delta ACD=\Delta BCD\left(ch-cgv\right)⇒ΔACD=ΔBCD(ch−cgv)

\Rightarrow\Delta ACD~\Delta BCD⇒ΔACD ΔBCD

\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}⇒BCAC​=BDAD​

\Rightarrow AC\times BD=AD\times BC\left(\text{đ}pcm\right)⇒AC×BD=AD×BC(đpcm)

b)

AI là đpg của \Delta ACDΔACD

\Rightarrow\frac{IC}{ID}=\frac{AC}{AD}⇒IDIC​=ADAC​ mà \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}ADAC​=BDBC​

\Rightarrow\frac{IC}{ID}=\frac{BC}{BD}⇒IDIC​=BDBC​

=> BI là đpg của \Delta BCDΔBCD (đpcm)