Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : x + y − 4 z = 0 , đường thẳng d : x − 1 2 = y + 1 − 1 = z − 3 1  và điểm A 1 ; 3 ; 1  thuộc mặt phẳng P .  Gọi Δ  là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và cách d một khoảng cách lớn nhất. Gọi u → = a ; b ; 1  là một VTCP của đường thẳng Δ . Tính a + 2 b .  

A.  a + 2 b = − 3.

B.  a + 2 b = 0.

C.  a + 2 b = 4.

D.  a + 2 b = 7.

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Phương pháp: 

Đánh giá, tìm vị trí của Δ  để khoảng cách giữa 2 đường thẳng là lớn nhất.

Cách giải:

Kẻ AH vuông góc d, qua A kẻ d ' / / d .  

Dựng mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc AH, (Q) cắt (P) tại Δ 0 .  Ta sẽ chứng minh Δ 0  thỏa mãn yêu cầu đề bài (cách d một khoảng cách lớn nhất).

Vì A H ⊥ d A H ⊥ Q ⇒ d / / Q ⇒ d d ; Q = A H = d d ; Δ 0

 (do Δ 0 ⊂ Q )

Lấy Δ  là đường thẳng bất kì qua A và nằm trong (P). Gọi (Q’) là mặt phẳng chứa d’ và

Δ ⇒ d / / Q '

⇒ d d ; Q ' = d H ; Q '  

Kẻ

H A ' ⊥ Q ' ,   A ' ∈ Q ' ⇒ d d ; Q ' = H A ' = d d ; Δ .  

Ta có: H A ' ≤ H A ⇒  Khoảng cách từng d đến Δ  lớn nhất bằng AH khi Δ  trùng Δ 0.

*) Tìm tọa độ điểm H:

Gọi α :  mặt phẳng qua A vuông góc d 

⇒ α : 2. x − 1 − 1 y − 3 + 1 z − 1 = 0 ⇔ 2 x − y + z = 0

H = d ∩ α ⇒ x − 1 2 = y + 1 − 1 = z − 3 1 = 2 x − 2 − y − 1 + z − 3 4 + 1 + 1 = 2 x − y + z − 6 6 = 0 − 6 6 = − 1  

⇒ x = − 1 y = 0 z = 2 ⇒ H − 1 ; 0 ; 2  

⇒ A H → − 2 ; − 3 ; 1  

Δ 0   có 1 VTCP: u → = A H → ; n P → ,  với n P → = 1 ; 1 ; − 4  

⇒ u → = 11 ; − 7 ; 1 ⇒ a = 11 ; b = − 7 ⇒ a + 2 b = − 3.