Câu hỏi của Trần Tuấn Hoàng

Question

Tìm tất cả hàm số $f:R\rightarrow R$ thoả mãn:$f\left(xf\left(y\right)-y\right)+f\left(xy-x\right)+f\left(x+y\right)=2xy,\forall x,y\in R$Em chỉ mới chứng minh được f là hàm lẻ ạ, mong mọi người g...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Thay $x=0;y=0$ vào giả thiết ta được $f\left(0\right)=0$Thay $y=0$ ta được $f\left(x\right)+f\left(-x\right)=0\Rightarrow f$ là hàm lẻ(Phân tích 1 chút: khi đã có hàm lẻ, ta cần thế tiếp 1 cặp sao cho "khử" được biểu thức phức tạp dạng hàm lồng đầu tiên, bằng cách tìm 1 giá trị y sao cho: $x.f\left(y\right)-y=-\left(x+y\right)$ hoặc là $x.f\left(y\right)-y=-\left(xy-x\right)$. Cái thứ nhất cho ta $x.\left[f\left(y\right)+1\right]=0\Rightarrow f\left(y\right)=-1$ , nghĩa là ta chỉ cần tìm 1 hằng số c sao cho $f\left(c\right)=-1$. Cái thứ 2 ko cho điều gì tốt nên bỏ qua. Bây giờ ta đi tìm c. Vế phải cần bằng -1, nghĩa là $xy=-\dfrac{1}{2}$, vế trái cần khử bớt 2 số hạng. Nhưng trước khi có c thì $f\left(x.f\left(y\right)-y\right)$ chưa khử được, nên ta cần khử cặp sau, bằng cách cho $xy-x=-\left(x+y\right)\Rightarrow xy=-y\Rightarrow x=-1$, thay vào $xy=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$. Xong.)Thế $x=-1;y=\dfrac{1}{2}$ ta được:$f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)+f\left(-1+\dfrac{1}{2}\right)=-1$$\Leftrightarrow f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)=-1$Đặt $c=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}$ là 1 hằng số nào đó$\Rightarrow f\left(c\right)=-1$Thế $y=c$ vào ta được:$f\left(x.f\left(c\right)-c\right)+f\left(cx-x\right)+f\left(x+c\right)=2c.x$$\Leftrightarrow f\left(-x-c\right)+f\left(x+c\right)+f\left(cx-x\right)=2c.x$$\Leftrightarrow f\left(cx-x\right)=2c.x$ (1)- Nếu $c=1\Rightarrow f\left(0\right)=2x$ ko thỏa mãn $f\left(0\right)=0$ $\Rightarrow c\ne1$, khi đó đặt $cx-x=t$ $\Rightarrow x=\dfrac{t}{c-1}$(1) trở thành $f\left(t\right)=\dfrac{2c}{c-1}.t$Đặt $\dfrac{2c}{c-1}=a$ $\Rightarrow f\left(t\right)=a.t$ Hay hàm cần tìm có dạng $f\left(x\right)=ax$ với a là hằng sốCâu trả lời: Thay $x=0;y=0$ vào giả thiết ta được $f\left(0\right)=0$Thay $y=0$ ta được $f\left(x\right)+f\left(-x\right)=0\Rightarrow f$ là hàm lẻ(Phân tích 1 chút: khi đã có hàm lẻ, ta cần thế tiếp 1 cặp sao cho "khử" được biểu thức phức tạp dạng hàm lồng đầu tiên, bằng cách tìm 1 giá trị y sao cho: $x.f\left(y\right)-y=-\left(x+y\right)$ hoặc là $x.f\left(y\right)-y=-\left(xy-x\right)$. Cái thứ nhất cho ta $x.\left[f\left(y\right)+1\right]=0\Rightarrow f\left(y\right)=-1$ , nghĩa là ta chỉ cần tìm 1 hằng số c sao cho $f\left(c\right)=-1$. Cái thứ 2 ko cho điều gì tốt nên bỏ qua. Bây giờ ta đi tìm c. Vế phải cần bằng -1, nghĩa là $xy=-\dfrac{1}{2}$, vế trái cần khử bớt 2 số hạng. Nhưng trước khi có c thì $f\left(x.f\left(y\right)-y\right)$ chưa khử được, nên ta cần khử cặp sau, bằng cách cho $xy-x=-\left(x+y\right)\Rightarrow xy=-y\Rightarrow x=-1$, thay vào $xy=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$. Xong.)Thế $x=-1;y=\dfrac{1}{2}$ ta được:$f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(-\dfrac{1}{2}+1\right)+f\left(-1+\dfrac{1}{2}\right)=-1$$\Leftrightarrow f\left(-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right)=-1$Đặt $c=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}$ là 1 hằng số nào đó$\Rightarrow f\left(c\right)=-1$Thế $y=c$ vào ta được:$f\left(x.f\left(c\right)-c\right)+f\left(cx-x\right)+f\left(x+c\right)=2c.x$$\Leftrightarrow f\left(-x-c\right)+f\left(x+c\right)+f\left(cx-x\right)=2c.x$$\Leftrightarrow f\left(cx-x\right)=2c.x$ (1)- Nếu $c=1\Rightarrow f\left(0\right)=2x$ ko thỏa mãn $f\left(0\right)=0$ $\Rightarrow c\ne1$, khi đó đặt $cx-x=t$ $\Rightarrow x=\dfrac{t}{c-1}$(1) trở thành $f\left(t\right)=\dfrac{2c}{c-1}.t$Đặt $\dfrac{2c}{c-1}=a$ $\Rightarrow f\left(t\right)=a.t$ Hay hàm cần tìm có dạng $f\left(x\right)=ax$ với a là hằng số

camcon · Answer

Anh giúp em ạ! Kết quả không như bạn làm ạ. https://hoc24.vn/cau-hoi/.8752594043792Câu trả lời: Anh giúp em ạ! Kết quả không như bạn làm ạ. https://hoc24.vn/cau-hoi/.8752594043792

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP