Question

[Nguyễn An]

tìm số tự nhiên n để 2⁴+2⁷+2ⁿ là số chính phương

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Đặt \(A=2^4+2^7+2^n=144+2^n\)

Nếu \(n\) lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\Rightarrow A=144+2.4^k\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow A\) không thể là SCP (loại)

\(\Rightarrow n\) chẵn \(\Rightarrow n=2k\)

\(\Rightarrow144+2^{2k}=m^2\)

\(\Rightarrow144=m^2-\left(2^k\right)^2\)

\(\Rightarrow144=\left(m-2^k\right)\left(m+2^k\right)\)

Giải pt ước số cơ bản này ta được đúng 1 nghiệm thỏa mãn là \(2^k=16\Rightarrow k=4\Rightarrow n=8\)

Answer 2

[Hoàng Ngọc Anh]

tôi thấy  k=8^2,8^3,8^4.............