Question

[Nguyễn Thị Thiên Kiều]

Tìm m để phương trình \(x^4-\left(3m+5\right)x^2+\left(m+1\right)^2=0\) có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng ?

Answer 1

[Nguyễn Bảo Trân]

Giả sử 4 nghiệm phân biệt của phương trình là : \(x_1;x_2;x_3;x_4\)

Đặt \(x^2=y\ge0\), ta có phương trình :

\(\Leftrightarrow y^2-\left(3m+5\right)y+\left(m+1\right)^2=0\left(1\right)\)

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm phân biệt \(0 < y1 < y2\)

Khi đó (1) có 4 nghiệm là : \(x_1=-\sqrt{y_2};x_2=-\sqrt{y_1};x_3=-\sqrt{y_1};x_4=-\sqrt{y_2}\)

Rõ ràng \(x2 < x2 < x3 < x4\)

Theo đầu bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng, nên :

\(\Rightarrow x_3+x_1=2x_2\) V \(x_4+x_1=2x_3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}=2\sqrt{y_1}\)

\(\Rightarrow3\sqrt{y_1}=\sqrt{y_2}\)

\(\Leftrightarrow9y_1=y_2\) (*)

Áp dụng Viet cho phương trình (1) ta có hệ :

\(\begin{cases}\Delta=\left(3m+5\right)^2-4\left(m+1\right)^2>0\\S=y_1+y_2=10y_1=3m+5\\P=y_1y_2=9y_1^2=\left(m+1\right)^2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=5\\m=-\frac{25}{19}\end{cases}\)