Question

[Hán Bình Nguyên]

Tìm m để phương trình có nghiệm

\(\sqrt{2x^2-2\left(m+4\right)x+5m+10}-x+3=0\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2-2\left(m+4\right)x+5m+10}=x-3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3\ge0\\2x^2-2\left(m+4\right)x+5m+10=x^2-6x+9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge3\\x^2-2\left(m+1\right)x+5m+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Pt đã cho có nghiệm khi (1) có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn \(x\ge3\)

- Để (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(5m+1\right)\ge0\Leftrightarrow m^2-3m\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\) (1)

- Để 2 nghiệm của (1) thỏa mãn \(x_1\le x_2< 3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)+9>0\\x_1+x_2< 6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5m+1-6\left(m+1\right)+9>0\\2\left(m+1\right)< 6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< 2\)

\(\Rightarrow\) Để pt có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn \(x\ge3\) thì \(m\ge2\) (2)

Kết hợp (1); (2) \(\Rightarrow m\ge3\)