K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 1 2016

Biến đổi : 

\(5\sin x=a\left(2\sin x-\cos x+1\right)+b\left(2\cos x+\sin x\right)+c\)

         = \(\left(2a+b\right)\sin x+\left(2b-a\right)\cos x+a+c\)

Đồng nhất hệ số hai tử số : 

\(\begin{cases}2a+b=5\\2b-a=0\\a+c=0\end{cases}\)

\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}a=2\\b=1\\c=-2\end{cases}\)

Khi đó :

\(f\left(x\right)=\frac{2\left(2\sin x-\cos x+1\right)+\left(2\cos x+\sin x\right)-2}{2\sin x-\cos x+1}\)

\(2+\frac{2\cos x+\sin x}{2\sin x-\cos x+1}-\frac{2}{2\sin x-\cos x+1}\)

Do vậy : 

\(I=2\int dx+\int\frac{\left(2\cos x+\sin x\right)dx}{2\sin x-\cos x+1}-2\int\frac{dx}{2\sin x-\cos x+1}\)

=\(2x+\ln\left|2\sin x-\cos x+1\right|-2J+C\)

Với 

\(J=\int\frac{dx}{2\sin x-\cos x+1}\)

20 tháng 3 2016

Một trong các nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos x+\sin x\) là hàm số \(\sin x-\cos x\) . Từ định lí nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) trên khoảng (a,b) thì trên khoảng đó nó có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm cho trên khoảng (a,b) là sai khác nhau một hằng số cộng. suy ra mọi nguyên hàm số đã cho đều có dạng \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+C\), trong đó C là hằng số nào đó. 

Để xác định hằng số C ta sử dụng điều kiện F(0)=1

Từ điều kiện này và biểu thức F(x) ta có :

\(\sin0-\cos0+C=1\Rightarrow C=1+\cos0=2\)

Do đó hàm số \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+2\) là nguyên hàm cần tìm

23 tháng 1 2016

Ta có :

\(f\left(x\right)=\int\frac{dx}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\)

\(=\int\frac{dx}{2\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)}=\int\frac{dx}{\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)}=\int\frac{d\left(\tan\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)}{\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)}=\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\right|+C\)

20 tháng 1 2016

Biến đổi :

\(4\sin^2x+1=5\sin^2x+\cos^2x=\left(a\sin x+b\cos x\right)\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)+c\left(\sin^2x+\cos^2x\right)\)

\(=\left(a\sqrt{3}+c\right)\sin^2x+\left(a+b\sqrt{3}\right)\sin x.\cos x+\left(b+c\right)\cos^2x\)

Đồng nhấtheej số hai tử số 

\(\begin{cases}a\sqrt{3}+c=5\\a+b\sqrt{3}=0\\b+c=1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}a=\sqrt{3}\\b=-1\\c=2\end{cases}\)

19 tháng 12 2019

Chọn A.

F ' ( x ) = sin x - cos x ' sin x - cos x = cos x + sin x sin x - cos x

NV
29 tháng 3 2022

\(\int sin^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosx\right)dx=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}sinx+C\)

\(\int cos^23xdx=\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos6x\right)dx=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}sin6x+C\)

\(\int4cos^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(2+2cosx\right)dx=2x+2sinx+C\)

29 tháng 3 2022

Em cảm ơn ạ 

 

23 tháng 1 2016

a) \(f\left(x\right)=\sin^3x.\sin3x=\sin3x\left(\frac{3\sin x-\sin3x}{4}\right)=\frac{3}{4}\sin3x.\sin x-\frac{1}{4}\sin^23x\)

          = \(\frac{3}{8}\left(\cos2x-\cos4x\right)-\frac{1}{8}\left(1-\cos6x\right)=\frac{3}{8}\cos2x+\frac{1}{8}\cos6x-\frac{3}{8}\cos4x-\frac{1}{8}\)

Do đó : 

\(I=\int f\left(x\right)dx=\int\left(\frac{3}{8}\cos2x+\frac{1}{8}\cos6x-\frac{3}{8}\cos4x-\frac{1}{8}\right)dx=\frac{3}{16}\sin2x+\frac{1}{48}\sin6x-\frac{3}{32}\sin4x-\frac{1}{8}x+C\)

23 tháng 1 2016

b) Ta biến đổi :

\(f\left(x\right)=\sin^3x.\cos3x+\cos^3x.\sin3x=\cos3x\left(\frac{3\sin x-\sin3x}{4}\right)+\sin3x\left(\frac{\cos3x+3\cos x}{4}\right)\)

\(=\frac{3}{4}\left(\cos3x\sin x+\sin3x\cos x\right)=\frac{3}{4}\sin4x\)

Do đó : \(I=\int f\left(x\right)dx=\frac{3}{4}\int\sin4xdx=-\frac{3}{16}\cos4x+C\)

29 tháng 7 2018

GV
4 tháng 5 2017

Để kiểm tra một hàm F(x) có phải là một nguyên hàm của f(x) không thì ta chỉ cần kiểm tra F'(x) có bằng f(x) không?

a) \(F\left(x\right)\) là hằng số nên \(F'\left(x\right)=0\ne f\left(x\right)\)

b) \(G'\left(x\right)=2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\)

c) \(H'\left(x\right)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\)

d) \(K'\left(x\right)=-2.\dfrac{-\left(\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}\right)}{\left(1+\tan\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}}{\left(\dfrac{\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}}\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{\left(\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{1+2\cos\dfrac{x}{2}\sin\dfrac{x}{2}}\)

\(=\dfrac{1}{1+\sin x}\)

Vậy hàm số K(x) là một nguyên hàm của f(x).

19 tháng 6 2016

GTLN=4

GTNN=2