Question

[Pham An]

Tìm hệ số của số hạng chứa x²⁰ trong khi khai triển nhị thức \(\left(\dfrac{1}{x^3}+x^2\right)^n\)     

Biết: \(C^{n+1}_{2n+1}+C^{n+2}_{2n+1}+C^{n+3}_{2n+1}+...+C^{2n}_{2n+1}=2^{100}-1\)

Ai giải giùm bài này với !!!

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Giả thiết tương đương:

\(C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+...+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}=2^{100}\) (thay \(1=C_{2n+1}^{2n+1}\))

Mặt khác:

\(C_{2n+1}^{2n+1}=C_{2n+1}^0\)

\(C_{2n+1}^{2n}=C_{2n+1}^1\)

....

\(C_{2n+1}^{n+1}=C_{2n+1}^n\)

Cộng vế:

\(\Rightarrow C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+...+C_{2n+1}^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+...+C_{2n+1}^n\)

\(\Rightarrow2\left(C_{2n+1}^{n+1}+...+C_{2n+1}^{2n+1}\right)=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+...+C_{2n+1}^{2n+1}\)

\(\Rightarrow2.2^{100}=2^{2n+1}\) (đẳng thức cơ bản: \(\sum\limits^n_{k=0}C_n^k=2^n\))

\(\Leftrightarrow2^{101}=2^{2n+1}\)

\(\Rightarrow2n+1=101\)

\(\Rightarrow n=50\)

SHTQ trong khai triển: \(C_{50}^k.\left(x^{-3}\right)^k.\left(x^2\right)^{50-k}=C_{50}^kx^{100-5k}\)

\(100-5k=20\Rightarrow k=16\)

Hệ số: \(C_{50}^{16}\)