Question

[Nguyễn Ngọc Hiền]

Tìm GTNN :\(\sqrt{x^2+4x+11}+\sqrt{x^2-8x+23}\) Ai biết làm ghi rõ từng bước với ạ, dạng này em chưa rành .Cảm ơn mọi người đã giúp đã em

Answer 1

[Mr Lazy]

\(A=\sqrt{\left(x+2\right)^2+7}+\sqrt{\left(x-4\right)^2+7}\)

Dạng bài này sử dụng bất đẳng thức Mincopxki \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\text{ }\left(1\right)\)

Chứng minh: 

\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\)

\(+\text{Nếu }ac+bd< 0\text{ thì }VT\ge0>VP,\text{ bđt luôn đúng.}\)

\(\text{+Nếu }ac+bd>0\)

\(\text{bđt}\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)

Do bđt cuối đúng nên bất đẳng thức đã cho cũng đúng.

Vậy ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(ad=bc\)

\(A=\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(\sqrt{7}\right)^2}+\sqrt{\left(4-x\right)^2+\left(\sqrt{7}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+2+4-x\right)^2+\left(\sqrt{7}+\sqrt{7}\right)^2}\)

\(=\sqrt{64}=8.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left(x+2\right).\sqrt{7}=\left(4-x\right).\sqrt{7}\Leftrightarrow x+2=4-x\Leftrightarrow x=1.\)

Vậy GTNN của biểu thức là 8.