Câu hỏi của NGUYỄN MINH HUY

Question

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $y=\dfrac{x^2+2}{x^2+x+1}$

Minh Anh · Accepted Answer

y=$\frac{x^2+2}{x^2+x+1}$

* Mẫu thức: x2+x+1

=x2+x+$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$

=(x+$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$

Ta có:

x2≥0 ∀ x ⇒x2+2 ≥ 2 ∀ x

(x+$\frac{1}{2}$)2 ≥ 0 ∀ x

⇒ (x+$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$ ≥$\frac{3}{4}$ ∀ x

⇒$\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}$ ≤ $\frac{4}{3}$ ∀ x

⇒ $\frac{2}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}$≤ $\frac{8}{3}$ ∀ x

Như đã chứng minh trên ta có:

$\frac{x^2+2}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}$ ≤ $\frac{8}{3}$ ∀ x

Vậy giá trị lớn nhất của y=$\frac{8}{3}$. Dấu ''='' xảy ra khi (1): x2+2=0

⇔x2=-2 (loại)

(2) : x+$\frac{1}{2}$=0

⇔x=-$\frac{1}{2}$( thỏa mãn)Câu trả lời: y=$\frac{x^2+2}{x^2+x+1}$