Question

[syl tráo nọy lguơì]

TÌm các số nguyên dương x;y;z với  x < y < z thỏa mãn

1/x + 1/y + 1/z = k

Answer 1

[Incursion_03]

Vì \(x;y;z\inℕ^∗\) và \(x< y< z\)nên \(\hept{\begin{cases}x\ge1\\y\ge2\\z\ge3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow0< \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}< 2\)

\(\Rightarrow0< k< 2\)

Mà k nguyên dương nên k = 1

Với k = 1 thì pt : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) 

*Với x = 1 thì VT > VP với mọi y ; z nguyên dương

*Với x > 3 thì y > 4 và z > 5

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}< 1\)

=> pt vô nghiệm

Do đó x = 2 

\(\Rightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y+z}{yz}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2y+2z=yz\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-yz\right)+\left(2z-4\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow y\left(2-z\right)+2\left(z-2\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(2-z\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(z-2\right)=4\)

Từ pt  \(\Rightarrow y\ne2\)

            => y > 2

Vì \(\hept{\begin{cases}y>2\\z\ge3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}y-2>0\\z-2>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y-2=1\\z-2=4\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}y-2=2\\z-2=2\end{cases}\left(h\right)\hept{\begin{cases}y-2=4\\z-2=1\end{cases}}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=3\\z=6\end{cases}}\)(Do y < z )

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\\z=6\end{cases}}\)