Question

[Nguyên Trinh Quang]

Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn: \(\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}=\frac{5}{19}\)

Answer 1

[ST]

\(\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}=\frac{5}{19}\Leftrightarrow19\left(x+y\right)=5\left(x^2+xy+y^2\right)\) (*)

từ pt (*) ta thấy \(19\left(x+y\right)⋮5\) mà (19,5)=1 \(\Rightarrow x+y⋮5\Rightarrow x+y=5k\left(k\in Z\right)\)

Thay x+y=5k vào (*) ta được: \(x^2+xy+y^2=19k\) (1)

Lại có: \(x+y=5k\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=25k^2\) (2)

Lấy (2) - (1) ta có: \(xy=25k^2-19k\)

Xét \(\left(x+y\right)^2-4xy=\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow25k^2-4\left(25k^2-19k\right)\ge0\Leftrightarrow75k^2-76k\le0\)

\(\Leftrightarrow0\le k\le\frac{76}{75}\Rightarrow k\in\left\{0;1\right\}\)

-Nếu k=0 thì \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}}\)

-Nếu k=1 thì \(\hept{\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(2;3\right);\left(3;2\right)}\)