Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Ta có: \(\left|x^2-4x-5\right|=x-1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-4x-5=x-1\left(\left[{}\begin{matrix}x>5\\x< -1\end{matrix}\right.\right)\\-x^2+4x+5=x-1\left(-1< x< 5\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-4x-5-x+1=0\\-x^2+4x+5-x+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-5x-4=0\\-x^2+3x+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}-\dfrac{41}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{41}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{5}{2}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}\\x-\dfrac{5}{2}=-\dfrac{\sqrt{41}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{41}+5}{2}\left(nhận\right)\\x=\dfrac{-\sqrt{41}+5}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(S=\left\{\dfrac{\sqrt{41}+5}{2}\right\}\)
1.
ĐK: \(-1\le x\le4\)
Đặt \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=t\left(t\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=\frac{t^2-5}{2}\)
\(PT\Leftrightarrow t+\frac{t^2-5}{2}=5\Rightarrow t^2+2t-15=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-5\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(t=3\Rightarrow\sqrt{-x^2+3x+4}=2\) \(\Leftrightarrow-x^2+3x+4=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\) (tm)
2.
ĐK:\(x\ge4\)
Đặt \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=t\left(t\ge0\right)\)
\(\Rightarrow2\sqrt{x^2-16}=t^2-2x\)
\(PT\Leftrightarrow t=2x-12+t^2-2x\)
\(\Leftrightarrow t^2-t-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=4\\t=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\) Giải tiếp như trên.
a/ ĐKXĐ: \(x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{x}+2x+1+2\sqrt{x^2+x}-2=0\)
Đặt \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}=a>0\Rightarrow a^2=2x+1+2\sqrt{x^2+x}\)
\(\Rightarrow a+a^2-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{x}=1\)
Mà \(x\ge0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}\ge0\\\sqrt{x+1}\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=0\)
b/ ĐKXĐ: \(x\ge2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}+2x-2\sqrt{x^2-4}-2=0\)
Đặt \(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=a< 0\)
\(\Rightarrow a^2=2x-2\sqrt{x^2-4}\) , pt trở thành:
\(a+a^2-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\left(l\right)\\a=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=-2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+2=\sqrt{x+2}\)
\(\Leftrightarrow x+2+4\sqrt{x-2}=x+2\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{x-2}=0\Rightarrow x=2\)
c/ĐKXĐ: \(x\ge-1\)
\(\Leftrightarrow3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}-\left(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\right)-20=0\)
Đặt \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=a>0\)
\(\Rightarrow a^2=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}\), ta được:
\(a^2-a-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=5\\a=-4\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}-3+\sqrt{x+1}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-3\right)}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\right)=0\)
\(\Rightarrow x=3\)
a) Bình phương hai vế ta được
\(2{x^2} - 3x - 1 = 2x - 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x +2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình \(2x - 3 \ge 0\) thì chỉ \(x=2\) thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{2 \right\}\)
b) Bình phương hai vế ta được
\(\begin{array}{l}4{x^2} - 6x - 6 = {x^2} - 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình \({x^2} - 6 \ge 0\) thì thấy chỉ có nghiệm \(x = 2\)thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\)
c) \(\sqrt {x + 9} = 2x - 3\)(*)
Ta có: \(2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\)
Bình phương hai vế của (*) ta được:
\(\begin{array}{l}x + 9 = {\left( {2x - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = x + 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 13x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {KTM} \right)\\x = \frac{{13}}{4}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{13}}{4}} \right\}\)
d) \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 2} = 2 - x\)(**)
Ta có: \(2 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2\)
Bình phương hai vế của (**) ta được:
\(\begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 2 = {\left( {2 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 4x - 2 = {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 8x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\)
1.
\(x^4-6x^2-12x-8=0\)
\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1-4x^2-12x-9=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2=\left(2x+3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-1=2x+3\\x^2-1=-2x-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x-4=0\\x^2+2x+2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{5}\)
3.
ĐK: \(x\ge-9\)
\(x^4-x^3-8x^2+9x-9+\left(x^2-x+1\right)\sqrt{x+9}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x+1\right)\left(\sqrt{x+9}+x^2-9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+9}+x^2-9=0\left(1\right)\)
Đặt \(\sqrt{x+9}=t\left(t\ge0\right)\Rightarrow9=t^2-x\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow t+x^2+x-t^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+t\right)\left(x-t+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-t\\x=t-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\sqrt{x+9}\\x=\sqrt{x+9}-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
a/ ĐKXĐ: \(x\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x+9+2\sqrt{x^2+9x}=2x+5+2\sqrt{x^2+5x+4}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+9x}+2=\sqrt{x^2+5x+4}\)
\(\Leftrightarrow x^2+9x+4+4\sqrt{x^2+9x}=x^2+5x+4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+9x}=-4x\)
Do \(x\ge0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP\le0\end{matrix}\right.\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=0\)
b/ Lại 1 câu sai đề nữa, dễ dàng chứng minh pt này vô nghiệm:
\(\Leftrightarrow x^2-2x+4x-\sqrt{x^2-2x+24}+\frac{1}{4}+x^2+\frac{183}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-2x+24}-\frac{1}{2}\right)^2+x^2+\frac{183}{4}=0\)
Phương trình hiển nhiên vô nghiệm do vế trái dương
a, ĐK: \(x\le-1,x\ge3\)
\(pt\Leftrightarrow2\left(x^2-2x-3\right)+\sqrt{x^2-2x-3}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x^2-2x-3}+3\right).\left(\sqrt{x^2-2x-3}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-2x-3}=-\dfrac{3}{2}\left(l\right)\\\sqrt{x^2-2x-3}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=1\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{5}\left(tm\right)\)
b, ĐK: \(-2\le x\le2\)
Đặt \(\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=t\Rightarrow t^2=10-3x-4\sqrt{4-x^2}\)
Khi đó phương trình tương đương:
\(3t-t^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=0\\\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2+x=8-4x\\2+x=17-4x+12\sqrt{2-x}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{5}\left(tm\right)\\5x-15=12\sqrt{2-x}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Vì \(-2\le x\le2\Rightarrow5x-15< 0\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{6}{5}\)
Đặt \(\sqrt{2x^2+x+9}=a>0\\ \sqrt{2x^2-x+1}=b>0\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x+4\\\dfrac{a^2-b^2}{2}=x+4\end{matrix}\right.\)
\(Pt\Leftrightarrow a+b=\dfrac{a^2-b^2}{2}\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)-2\left(a+b\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b-2\right)=0\\ \Leftrightarrow a-b-2=0\left(do.a+b>0\right)\\ \Leftrightarrow a=b+2\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x^2+x+9}=\sqrt{2x^2-x+1}+2\\ \Leftrightarrow2x^2+x+9=2x^2-x+1+4+4\sqrt{2x^2-x+1}\)
\(\Leftrightarrow x+2=2\sqrt{2x^2-x+1}\left(x\ge-2\right)\\ \Leftrightarrow x^2+4x+4=8x^2-4x+4\\ \Leftrightarrow7x^2-8x=0\\ \Leftrightarrow x\left(7x-8\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(tm\right)\\x=\dfrac{8}{7}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)