Question

[Madelosy]

So sánh 2 số:

\(A=\dfrac{1}{2006}\) và \(B=\dfrac{1}{2008}+\left(\dfrac{1}{2008}+\dfrac{1}{2008^2}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{2008}+\dfrac{1}{2008^2}+...+\dfrac{1}{2008^{2007}}\right)\)

Answer 1

[Linh Trần]

Hình như thiếu mũ 2007 -.- Sửa luôn nhóe :)

Trước hết ta tính tổng sau, với các số tự nhiên a, n đều lớn hơn 1.

\(S_n=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}+...+\dfrac{1}{a^n}\)

Ta có: \(\left(a-1\right)S_n=aS_n-S_n\)

\(=\left(1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}+...+\dfrac{1}{a^{n-1}}\right)-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}+...+\dfrac{1}{a^{n-1}}+\dfrac{1}{a^n}\right)\)\(=1-\dfrac{1}{a^n}< 1\Rightarrow S_n< \dfrac{1}{a-1}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT ( 1 ) cho a = 2008 và mọi n = 2,3, ..., 2004 ta được:

\(B=\dfrac{1}{2008}+\left(\dfrac{1}{2008}+\dfrac{1}{2008^2}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{2008}+\dfrac{1}{2008^2}+...+\dfrac{1}{2008^{2007}}\right)^{2007}< \dfrac{1}{2007}+\left(\dfrac{1}{2007}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{2007}\right)^{2007}\left(2\right)\)

Lại áp dụng BĐT ( 1 ) cho a = 2007 và n = 2007, ta được:

\(\dfrac{1}{2007}+\dfrac{1}{2007^2}+...+\dfrac{1}{2007^{2007}}< \dfrac{1}{2006}=A\left(3\right)\)

Từ ( 2 ) và ( 3 ) => B < A.

Answer 2

[Linh Trần]

Thiệt ta là tui chép sách