DY
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
0
NT
3
19 tháng 2 2017
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge A^2\)
\(\Leftrightarrow A^2\le2\left(y^2+yz+z^2\right)+3x^2=36\)
\(\Leftrightarrow-6\le A\le6\)
PT
2
TN
4 tháng 9 2017
Ta có: \(xy+yz+2xz\le k\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1\right)\)
Tức cần tìm \(k>0\) để \((1)\) đúng,
\(\left(1\right)\Leftrightarrow ky^2-y\left(x+z\right)+kx^2+kz^2-2xz\ge0\)
Coi đây là tam thức bậc hai ẩn \(y\) thì tìm \(\Delta< 0\forall x,z\), có:
\(\Delta=\left(1-4k^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2\left(1+4k\right)xz\)
Bất đẳng thức trên đối xứng \(x,z\) nên dự đoán \(P_{Max}\) khi \(x=z\)
Thay \(x=z=1\Rightarrow2k^2-2k-1=0\Rightarrow k=\frac{1+\sqrt{3}}{2}>0\)
Hay \(P_{Max}=3\cdot\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
PT
1
4 tháng 9 2017
Ta có: \(xy+yz+2xz\le k\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1\right)\)
Hay cần tìm \(k>0\) để \(\left(1\right)\) luôn đúng
\(\left(1\right)\Leftrightarrow ky^2-y\left(x+z\right)+kx^2+kz^2-2xz\ge0\)
Coi đây là tam thức bậc hai ẩn \(y\) thì cần tìm \(\Delta<0\forall x,z\)
\(\Delta=\left(1-4k^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2\left(1+4k\right)xz\)
Bất đẳng thức trên đối xứng theo \(x,z\) nên dự đoán \(P_{Max}\) khi \(x=z\)
Thay \(x=z=1\Rightarrow2k^2-2k-1=0\Rightarrow k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}>0\)
\(\Rightarrow P_{Max}=3\cdot\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)
22 tháng 8 2021
Ta có : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}.2.\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]\ge0\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)
PT
0
23 tháng 1 2018
hình như bài này có trong đề thi hsg toán 9 tp ha nôi 2016 hay sao ý ^.^
JJ
21 tháng 1 2018
MAx
ó thể thấy rằng:
xy + yz + 2zx = y(x + z) + 2zx <= lyllx + zl + 2zx (1).
Lại có lx + zl <= căn[2(x^2 + z^2)] = căn[2(1 - y^2)] và 2zx <= z^2 + x^2 = 1 - y^2; từ đây suy ra
xy + yz + 2zx <= lylcăn[2(1 - y^2)] + 1 - y^2 (2).
Tiếp đến, ta sẽ chứng minh lylcăn(2(1 - y^2)] + 1 - y^2 <= căn(3)/2 + 1/2 (3), từ đó suy ra kết quả của bài toán. Thật vậy, ta có
lylcăn(2(1 - y^2)] + 1 - y^2 <= căn(3)/2 - 1/2 <=> lylcăn[2(1 - y^2)] <= y^2 + căn(3)/2 - 1/2
<=> 2y^2(1 - y^2) <= y^4 + (căn(3) - 1)y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> 3y^4 - (3 - căn(3))y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> 3y^4 - 2căn(3)(căn(3)/2 - 1/2)y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> (căn(3)y^2 - căn(3)/2 + 1/2)^2 >= 0.
Đẳng thức xảy ra khi y = căn[1/2 - 1/2căn(3)] hoặc y = -căn[1/2 - 1/2căn(3)].
Từ (1),(2),(3) suy ra
xy + yz + 2zx <= căn(3)/2 + 1/2.
Dấu = xảy ra khi dấu = của (1),(2),(3) cùng xảy ra, tức là x = z = (1/2)căn[(1 + căn(3))/căn(3)] và y = căn[1/2 - 1/2căn(3)], hoặc x = z = (-1/2)căn[(1 + căn(3))/căn(3)] và y = -căn[1/2 - 1/2căn(3)].