Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{2xy}\\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=2
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{7x}{4y}+\left(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}-2\right)\)
Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số dương :
\(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{x}}=1\)
\(\frac{7x}{4y}\ge\frac{7.2y}{4y}=\frac{7}{2}\) do \(x\ge2y\)
Do đó : \(P\ge\frac{7}{2}+1-2=\frac{5}{2}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{5}{2}\) khi x\(=2y\)
Chúc bạn học tốt !!!
Cho x,y là các số dương thỏa mãn xy=1 .Tìm GTNN của biểu thức B=\(\frac{1}{x^2}\)+\(\frac{1}{9y^2}\)
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{9y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{9y^2}}=\frac{2}{3xy}=\frac{2}{3}\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9y^2}\\xy=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{3}\\y=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{cases}}\).
\(P=\dfrac{1}{x^2+x}+\dfrac{1}{y^2+y}+\dfrac{1}{z^2+z}\)
\(=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}+\dfrac{1}{y\left(y+1\right)}+\dfrac{1}{z\left(z+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{z+1}\)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\) và BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:
\(P\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+1+\dfrac{1}{y}+1+\dfrac{1}{z}+1\right)\)
\(=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{3}{4}\)
\(\ge\dfrac{3}{4}\left[\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right]-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{9}{3}-1\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1.
Min P = 1,5 <=> x = y = z = 1.
T xài phương pháp chuẩn hóa thử, lên C3 có gặp mấy bài này chém dễ dàng, có sai thì đừng ném đá nha :vv.
Ta chứng minh BĐT sau:
\(\dfrac{1}{x^2+x}\ge-0,75x+1,25\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\) ( Để ra cái BĐT này t dùng casio, ra cái này là ra hết bài :D )
Thật vậy: \(\dfrac{1}{x^2+x}+0,75x-1,25\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1+0,75x\left(x^2+x\right)-1,25\left(x^2+x\right)}{x^2+x}\ge0\)
\(\Rightarrow1+0,75x^3+0,75x^2-1,25x^2+1,25x\ge0\)
\(\Rightarrow0,75\left(x-1\right)^2\left(x+\dfrac{4}{3}\right)\ge0\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\) (BĐT này luôn đúng)
Tương tự: \(\dfrac{1}{y^2+y}\ge-0,75y+1,25\)
\(\dfrac{1}{z^2+z}\ge-0,75z+1,25\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh, ta được: \(P\ge-0,75\left(x+y+z\right)+1,25.3\)
\(P\ge1\)
Vậy Min P =1 khi x=y=z =1
\(A=\left(1+\frac{x^2}{y^2}\right)\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}.2\sqrt{\frac{y^2}{x^2}}=2.\frac{x}{y}.2.\frac{y}{x}=4\) ( Cosi )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
...
Ta có: \(Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{6}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}\)
Áp dụng BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge2\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)=2\left[\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right]=2.\dfrac{4}{4}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Áp dụng BĐT phụ: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{2^2}{4}=1\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
\(\Rightarrow2xy\le2.1=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{2xy}\ge\dfrac{4}{2}=2\)
\(\Rightarrow Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}\ge2+2=4\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1