Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)
Hoàn toàn tương tự :
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\sqrt{\frac{3}{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\sqrt{\frac{3}{xz}}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức và thu lại ta được :
\(VT\ge\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\ge3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\)
( Cauchy )
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Cách khác nè bạn
Xét bđt phụ \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\left(a,b>0\right)\)
Thật vậy\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với a,b>0)
Áp dụng ta có \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{xy}\sqrt{x+y+z}}{xy}=\sqrt{\frac{x+y+z}{xy}}\)
T tự ta có:\(VT\ge\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{xy}\right)=\sqrt{x+y+z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\left(xyz=1\left(gt\right)\right)\)
Đặt \(4^x=a;4^y=b;4^z=c\left(a,b,c>0\right)\)
=> \(abc=4^{x+y+z}=1\)
Khi đó
\(VT=\sqrt{3+a}+\sqrt{3+b}+\sqrt{3+c}\)
\(\ge\sqrt{4\sqrt[4]{a}}+\sqrt{4\sqrt[4]{b}}+\sqrt{4\sqrt[4]{c}}\)
\(\ge3\sqrt[6]{64.\sqrt[4]{abc}}=6\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 => \(x=y=z=0\)
Ta có: \(\frac{x-y\sqrt{2021}}{y-z\sqrt{2021}}=\frac{m}{n}\inℚ\left(m,n\inℤ,n\ne0\right)\Rightarrow nx-ny\sqrt{2021}=my-mz\sqrt{2021}\)\(\Rightarrow nx-my=\left(ny-mz\right)\sqrt{2021}\)
Vì x, y, z, m, n là các số nguyên nên \(nx-my\inℤ\)và \(ny-mz\inℤ\)
Khi đó: \(nx-my=0\)và \(ny-mz=0\)suy ra \(\frac{m}{n}=\frac{y}{z}=\frac{x}{y}\Rightarrow y^2=xz\)
Theo đề bài thì \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố hay \(x^2+2y^2+z^2-y^2=x^2+2zx+z^2-y^2=\left(x+z\right)^2-y^2=\left(x+y+z\right)\left(x+z-y\right)\)là số nguyên tố
Khi đó \(x+z-y=1\Leftrightarrow x+z=1+y\)
\(\Rightarrow x^2+z^2+2y^2=y^2+2y+1\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2+x^2+z^2-2=0\)
Vì x, y, z là số nguyên dương nên x = y = z = 1
Đặt cho gọn ha
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=a^2\\y=b^2\\z=c^2\end{cases}}\left(a;b;c>0\right)\)
Bài toán trở thành : Cho a;b;c > 0 và \(a^2+b^2+c^2=12\)
\(CMR:a^3+b^3+c^3\ge24\)
Dự đoán dấu "=" khi a = b = c = 2
Ta có : \(a\left(a-2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a^2-4a+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3-4a^2+4a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\ge4a^2-4a\)
Chứng minh tương tự được \(b^3\ge4b^2-4b\)
\(c^3\ge4c^2-4c\)
Cộng hết vô ta được \(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(a+b+c\right)\)
\(=4.12+4\left(a+b+c\right)\)
\(=48-4\left(a+b+c\right)\)(1)
Ta có \(\left(a-2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)
C/m tương tự \(b^2+4\ge4b\)
\(c^2+4\ge4c\)
Cộng lại được \(a^2+b^2+c^2+12\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow12+12\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow24\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow-4\left(a+b+c\right)\ge-24\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge48-24=24\left(ĐPCM\right)\)
Vậy bài toán được c/m
Thay giá trị x = y = z vô thì thấy VT > 2 nên nghi ngờ đề sai. B xem lại
a) ĐK: \(x>2009;y>2010;z>2011\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}-\frac{1}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(\sqrt{x-2009}-2\right)^2}{4\left(x-2009\right)}+\frac{-\left(\sqrt{y-2010}-2\right)^2}{4\left(y-2010\right)}+\frac{-\left(\sqrt{z-2011}-2\right)^2}{4\left(z-2011\right)}=0\left(1\right)\)
Dễ thấy với đkxđ thì \(VT\left(1\right)\le0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2009}=2\\\sqrt{y-2010}=2\\\sqrt{z-2011}=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2013\\y=2014\\z=2015\end{cases}\left(tm\right)}}\)
\(\sqrt{x^2-9}+\sqrt{x^2-6x+9}=0\)(*)
\(ĐK:\orbr{\begin{cases}x\ge3\\x\le-3\end{cases}}\)
(*)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\left(tm\right)\\\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}=0\end{cases}}\)
Xét phương trình\(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}=0\)(**) có \(\sqrt{x+3}\ge0;\sqrt{x-3}\ge0\)nên (**) xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+3}=0\\\sqrt{x-3}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\x=3\end{cases}}\left(L\right)\)
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là 3
Em nghĩ nếu làm như Lê Hồ Trọng Tín thì dấu "=" không xảy ra -> sai nên em xin chia sẻ cách làm của mình.Mong được mọi người góp ý.
Theo BĐT AM-GM
\(\sqrt{2019x\left(y+2\right)}=\sqrt{673}.\sqrt{3.x\left(y+2\right)}\)
\(\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left[3+x\left(y+2\right)\right]=\frac{\sqrt{673}}{2}\left(3+xy+2x\right)\)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta được:
\(M\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left[9+\left(xy+yz+zx\right)+2\left(x+y+z\right)\right]\)
\(\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left[9+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+6\right]\le\frac{\sqrt{673}}{2}\left(9+3+6\right)=6=9\sqrt{673}\)
Dấu "=" xảy ra khi x =y = z =1
Vậy...
Theo BĐT AM-GM:
\(\sqrt{2019x\left(y+2\right)}\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(2019x+y+2)
\(\sqrt{2019y\left(z+2\right)}\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(2019y+z+2)
\(\sqrt{2019z\left(x+2\right)}\)\(\le\)\(\frac{1}{2}\)(2019z+x+2)
=>M\(\le\)\(\frac{1}{2}\)[2019(x+y+z)+(x+y+z)+6]\(\le\)3033
Vậy MaxM=3033 <=>\(\hept{\begin{cases}2019x=y+2\\2019y=z+2\\2019z=x+2\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM - GM :
\(\sqrt{x}+\sqrt{x}+x^2\ge3\sqrt[3]{x^3}=3x\)
\(\sqrt{y}+\sqrt{y}+y^2\ge3y\)
\(\sqrt{z}+\sqrt{z}+z^2\ge3z\)
Cộng theo vế :
\(2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+x^2+y^2+z^2\ge3\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\ge xy+yz+xz\)
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!