Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(x+y=t,t\in\left[-2;2\right]\)
Biến đổi được \(P=-2t^3+6t\)
Xét \(f\left(t\right)=-2t^3+6t\) trên \(\left[-2;2\right]\)
Lập bảng biến thiên
Ta có \(P_{Max}=4\) khi t=1
\(P_{Min}=-4\) khi t= -1
\(P=xy-3\left(x+y\right)+9\)
Đặt \(x+y=a\Rightarrow1< a\le\sqrt{2}\)
\(a^2=x^2+y^2+2xy=1+2xy\Rightarrow xy=\frac{a^2-1}{2}\)
\(P=\frac{a^2-1}{2}-3a+9\Rightarrow2P=a^2-6a+17\)
\(2P=a^2-6a-2+6\sqrt{2}+19-6\sqrt{2}\)
\(2P=\left(a+\sqrt{2}\right)\left(a-\sqrt{2}\right)-6\left(a-\sqrt{2}\right)+19-6\sqrt{2}\)
\(2P=\left(\sqrt{2}-a\right)\left(6-\sqrt{2}-a\right)+19-6\sqrt{2}\ge19-6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{19-6\sqrt{2}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Bài này thì chia 2 vế của giả thiết cho z2 ta thu được:
\(\frac{x}{z}+2.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}+\frac{y}{z}=4\Leftrightarrow a+2ab+b=4\)
(đặt \(a=\frac{x}{z};b=\frac{y}{z}\)).Mà ta có: \(4=a+2ab+b\le a+b+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow a+b\ge2\) Lại có:
\(P=\frac{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2+\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)}+\frac{3}{2}.\frac{1}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1\right)^2}\) (chia lần lượt cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho z2)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)}+\frac{3}{2\left(a+b+1\right)^2}\).. Tiếp tục đặt \(t=a+b\ge2\) thu được:
\(P=\frac{t}{\left(t+1\right)}+\frac{3}{2\left(t+1\right)^2}=\frac{2t\left(t+1\right)+3}{2\left(t+1\right)^2}\)\(=\frac{2t^2+2t+3}{2\left(t+1\right)^2}-\frac{5}{6}+\frac{5}{6}\)
\(=\frac{2\left(t-2\right)^2}{12\left(t+1\right)^2}+\frac{5}{6}\ge\frac{5}{6}\)
Vậy...
P/s: check xem em có tính sai chỗ nào không:v
Bạn ơi có thể hướng dẫn chi tiết giúp mình không? cám ơn nhiều ạ
Từ giả thiết ta suy ra
Xét hàm số f ( t ) = 5 t - 1 3 t + t với t ∈ ℝ , f ' ( t ) = 5 t . ln 5 + 3 - t . ln 3 + 1 > 0 ; ∀ t ∈ ℝ
Suy ra y= f( t) là hàm số đồng biến trên R mà từ ( * ) suy ra
f (x+ 2y) =f( xy-1) hay x+ 2y= xy-1
với x>0 suy ra y>1.
Khi đó
Xét hàm số
f ( y ) = y 2 + y + 1 y - 1 t r ê n 1 ; + ∞ f ' y = y 2 - 2 y - 2 y - 1 2 = 0 ⇔ y = ± 1 + 3 f 1 + 3 = 3 + 2 3 ; lim y → 1 f ( y ) = lim y → + ∞ f ( y ) = + ∞
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 + 2 3 .
Vậy kết quả là 3 + 2 3
Chọn B.
\(x^2+\left(y-3\right)x+y^2-4y+4=0\)
\(\Delta=\left(y-3\right)^2-4\left(y^2-4y+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3y^2+10y-7\ge0\Rightarrow1\le y\le\frac{7}{3}\)
\(y^2+\left(x-4\right)y+x^2-3x+4=0\)
\(\Delta=\left(x-4\right)^2-4\left(x^2-3x+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3x^2+4x\ge0\Rightarrow0\le x\le\frac{4}{3}\)
Mặt khác ta có:
\(P=3x^3-3y^3+20x^2+5y^2+39x+2\left(-x^2-y^2+4y+3x-4\right)\)
\(P=\left(3x^3+18x^2+45x\right)+\left(-3y^3+3y^2+8y-8\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=3x^3+18x^2+45x\) trên \(\left[0;\frac{4}{3}\right]\)
\(f'\left(x\right)=9x^2+36x+45>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{892}{9}\)
Xét \(f\left(y\right)=-3y^3+3y^2+8y-8\) trên \(\left[1;\frac{7}{3}\right]\)
\(f'\left(y\right)=-9y^2+6y+8=0\Rightarrow y=\frac{4}{3}\)
\(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{9}\) ; \(f\left(\frac{7}{3}\right)=-\frac{100}{9}\)
\(\Rightarrow f\left(y\right)_{max}=f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{9}\Rightarrow f\left(y\right)\le\frac{8}{9}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{892}{9}+\frac{8}{9}=100\)
\(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)xy=\left(x+y\right)^2-3xy\)
Đặt \(x+y=t\Rightarrow xy=\frac{t^2}{t+3}\)
Lại có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow t^2\ge\frac{4t^2}{t+3}\)
\(\Leftrightarrow t^2\left(\frac{t-1}{t+3}\right)\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge1\\t< -3\end{matrix}\right.\)
\(A=\frac{x^3+y^3}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)xy}{\left(xy\right)^3}=\left(\frac{x+y}{xy}\right)^2\)
\(A=\left(\frac{t\left(t+3\right)}{t^2}\right)^2=\left(\frac{t+3}{t}\right)^2=\left(1+\frac{3}{t}\right)^2\)
\(\Rightarrow y'=-\frac{6\left(t+3\right)}{t^3}< 0\) \(\forall t\ge1;t< -3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^2=1\Rightarrow A_{max}=A\left(1\right)=16\)
\(\Rightarrow M=16\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Đáp án B.
Từ giả thiết, suy ra
Xét hàm số f ( t ) = 5 t - 1 3 t + t trên ℝ .
Đạo hàm f ' ( t ) = 5 t . ln 5 - ln 3 3 t + 1 > 0 , ∀ t ∈ ℝ ⇒ hàm số f ( t ) luôn đồng biến trên ℝ .
Suy ra
Do y > 0 nên x + 1 x - 2 > 0 ⇔ [ x > 2 x < - 1 . Mà x > 0 nên x > 2 .
Từ đó T = x + y = x + x + 1 x - 2 . Xét hàm số g ( x ) = x + x + 1 x - 2 trên 2 ; + ∞ .
Đạo hàm
Lập bảng biến thiên của hàm số trên 2 ; + ∞ , ta thấy min g ( x ) = g ( 2 + 3 ) = 3 + 2 3 .
Vậy T m i n = 3 + 2 3 khi x = 2 + 3 và x = 1 + 3 .