Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+\left(y-3\right)x+y^2-4y+4=0\)
\(\Delta=\left(y-3\right)^2-4\left(y^2-4y+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3y^2+10y-7\ge0\Rightarrow1\le y\le\frac{7}{3}\)
\(y^2+\left(x-4\right)y+x^2-3x+4=0\)
\(\Delta=\left(x-4\right)^2-4\left(x^2-3x+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3x^2+4x\ge0\Rightarrow0\le x\le\frac{4}{3}\)
Mặt khác ta có:
\(P=3x^3-3y^3+20x^2+5y^2+39x+2\left(-x^2-y^2+4y+3x-4\right)\)
\(P=\left(3x^3+18x^2+45x\right)+\left(-3y^3+3y^2+8y-8\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=3x^3+18x^2+45x\) trên \(\left[0;\frac{4}{3}\right]\)
\(f'\left(x\right)=9x^2+36x+45>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{892}{9}\)
Xét \(f\left(y\right)=-3y^3+3y^2+8y-8\) trên \(\left[1;\frac{7}{3}\right]\)
\(f'\left(y\right)=-9y^2+6y+8=0\Rightarrow y=\frac{4}{3}\)
\(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{9}\) ; \(f\left(\frac{7}{3}\right)=-\frac{100}{9}\)
\(\Rightarrow f\left(y\right)_{max}=f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{9}\Rightarrow f\left(y\right)\le\frac{8}{9}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{892}{9}+\frac{8}{9}=100\)
Bài này thì chia 2 vế của giả thiết cho z2 ta thu được:
\(\frac{x}{z}+2.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}+\frac{y}{z}=4\Leftrightarrow a+2ab+b=4\)
(đặt \(a=\frac{x}{z};b=\frac{y}{z}\)).Mà ta có: \(4=a+2ab+b\le a+b+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow a+b\ge2\) Lại có:
\(P=\frac{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2+\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)}+\frac{3}{2}.\frac{1}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1\right)^2}\) (chia lần lượt cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho z2)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)}+\frac{3}{2\left(a+b+1\right)^2}\).. Tiếp tục đặt \(t=a+b\ge2\) thu được:
\(P=\frac{t}{\left(t+1\right)}+\frac{3}{2\left(t+1\right)^2}=\frac{2t\left(t+1\right)+3}{2\left(t+1\right)^2}\)\(=\frac{2t^2+2t+3}{2\left(t+1\right)^2}-\frac{5}{6}+\frac{5}{6}\)
\(=\frac{2\left(t-2\right)^2}{12\left(t+1\right)^2}+\frac{5}{6}\ge\frac{5}{6}\)
Vậy...
P/s: check xem em có tính sai chỗ nào không:v
Do x+ y= 1 nên
S = 16 x 2 y 2 + 12 ( x + y ) ( x 2 - x y + y 2 ) + 34 x y = 16 x 2 y 2 + 12 ( x + y ) 2 - 3 x y + 34 x y , d o x + y = 1 = 16 x 2 y 2 - 2 x y + 12
Đặt t= xy . Do x≥ 0 ; y≥0 nên
0 ≤ x y ≤ ( x + y ) 2 4 = 1 4 ⇒ t ∈ 0 ; 1 4
Xét hàm số f(t) = 16t2- 2t + 12 trên [0 ; 1/4].
Ta có f’ (t) = 32t- 2 ; f’(t) =0 khi t= 1/ 16 .
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có:
m i n 0 ; 1 4 f ( t ) = f ( 1 16 ) = 191 16 ; m a x 0 ; 1 4 f ( t ) = f ( 1 4 ) = 25 2
Vậy giá trị lớn nhất của S là 25/2 đạt được khi
x + y = 1 x y = 1 4 ⇔ x = 1 2 y = 1 2
giá trị nhỏ nhất của S là 191/ 16 đạt được khi
Chọn A.
\(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)xy=\left(x+y\right)^2-3xy\)
Đặt \(x+y=t\Rightarrow xy=\frac{t^2}{t+3}\)
Lại có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow t^2\ge\frac{4t^2}{t+3}\)
\(\Leftrightarrow t^2\left(\frac{t-1}{t+3}\right)\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge1\\t< -3\end{matrix}\right.\)
\(A=\frac{x^3+y^3}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)xy}{\left(xy\right)^3}=\left(\frac{x+y}{xy}\right)^2\)
\(A=\left(\frac{t\left(t+3\right)}{t^2}\right)^2=\left(\frac{t+3}{t}\right)^2=\left(1+\frac{3}{t}\right)^2\)
\(\Rightarrow y'=-\frac{6\left(t+3\right)}{t^3}< 0\) \(\forall t\ge1;t< -3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^2=1\Rightarrow A_{max}=A\left(1\right)=16\)
\(\Rightarrow M=16\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Bạn ơi có thể hướng dẫn chi tiết giúp mình không? cám ơn nhiều ạ
Đặt \(x+y=t,t\in\left[-2;2\right]\)
Biến đổi được \(P=-2t^3+6t\)
Xét \(f\left(t\right)=-2t^3+6t\) trên \(\left[-2;2\right]\)
Lập bảng biến thiên
Ta có \(P_{Max}=4\) khi t=1
\(P_{Min}=-4\) khi t= -1