Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Áp dụng tính chất của tỉ số lượng giác ta có:
+) Sin2α + Cos2α=1
hay \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\)+Cos2α=1
\(\dfrac{1}{9}\)+Cos2α=1
Cos2α=\(\dfrac{8}{9}\)
⇒Cos α=\(\sqrt{\dfrac{8}{9}}\)=\(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)
+) \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)
+)\(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{\dfrac{1}{3}}\)=\(2\sqrt{2}\)
\(tan\alpha=-3\Rightarrow\alpha\simeq108^0\)
\(tan\beta=-5\Rightarrow\beta\simeq101^0\)
\(\Rightarrow90^0< \beta< \alpha\)
Minh An, Nguyễn Ngọc Linh, tth, Phạm Lan Hương, Vũ Minh Tuấn, Lê Nguyễn Ngọc Hà, Linh Phương, Duyên, Toàn Nguyễn Đức, Akai Haruma, Băng Băng 2k6, tth, No choice teen, Nguyễn Lê Phước Thịnh, HISINOMA KINIMADO, Lê Thị Thục Hiền, Nguyễn Huy Tú, Nguyễn Huy Thắng, Nguyễn Thanh Hằng, Hồng Phúc Nguyễn, Mysterious Person, soyeon_Tiểubàng giải, Võ Đông Anh Tuấn, Phương An, Trần Việt Linh,...
Lời giải:
Bài này chủ yếu sử dụng công thức lượng giác.
Vì sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau (công thức lượng giác)
\(\Rightarrow \sin \beta=\sin AMC\)\((1)\)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $M$ là trung điểm của $BC$ nên
\(BM=MC=AM\Rightarrow \triangle AMC\) cân tại $M$
\(\Rightarrow \widehat {MAC}=\widehat{MCA}\Rightarrow \widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2\widehat{MCA}=2\alpha\)\((2)\)
Từ \((1),(2)\)
\(\Rightarrow \sin \beta=\sin AMC=\sin (180-\widehat{MAC}-\widehat{MCA})=\sin (180-2\sin \alpha)=\sin (2\alpha)\)
\(\Leftrightarrow 1+\sin \beta=1+\sin 2\alpha\)
\(\Leftrightarrow 1+\sin \beta=\cos ^2\alpha+\sin ^2\alpha+\sin 2\alpha=\cos ^2\alpha+\sin^2\alpha+2\sin \alpha\cos \alpha\)
\(\Leftrightarrow 1+\sin \beta=(\cos \alpha+\sin \alpha)^2\) (đpcm)