Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) 1110 – 1 = (1 + 10)10 – 1 = (1 + C110 10 + C210102 + … +C910 109 + 1010) – 1
= 102 + C210102 +…+ C910 109 + 1010.
Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 1110 – 1 chia hết cho 100.
b) Ta có
101100 – 1 = (1 + 100)100 - 1
= (1 + C1100 100 + C2100 1002 + …+C99100 10099 + 100100) – 1.
= 1002 + C21001002 + …+ 10099 + 100100.
Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101100 – 1 chia hết cho 10 000.
c) (1 + √10)100 = 1 + C1100 √10 + C2100 (√10)2 +…+ (√10)99 + (√10)100
(1 - √10)100 = 1 - C1100 √10 + C2100 (√10)2 -…- (√10)99 + (√10)100
√10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] = 2√10[C1100 √10 + C3100 (√10)3 +…+ . (√10)99]
= 2(C1100 10 + C3100 102 +…+ 1050)
Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra √10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] là một số nguyên.
a) \(11^{10}-1=\left(10+1\right)^{10}-1\)\(=C^0_{10}10^{10}+C^1_{10}10^9+...+C^9_{10}10+C^{10}_{10}-1\)
\(=10^{10}+C^1_{10}10^9+...+C^8_{10}10^2+10.10\) chia hết cho 100.
b) \(\left(101\right)^{100}-1=\left(100+1\right)^{100}-1\)
\(=100^{100}+C_{100}^{99}100^{99}+....+C^1_{100}100+C_{100}^{100}100^0-1\)
\(=100^{100}+C_{100}^{99}100^{99}+....+C^2_{100}100^2+100.100+1-1\)
\(=100^{100}+C_{100}^{99}100^{99}+....+C^2_{100}100^2+10000\) chia hết cho 10000.
Câu 1: dài quá, làm biếng, bài này rất nổi tiếng, tìm là thấy liền :D
Câu 2:
Gọi 2 số đó là \(x< y\), số cách chọn ra 2 số là \(C_{2019}^2\)
Theo bài ra ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+3y=a^2\\y^2+3x=b^2\end{matrix}\right.\)
Do \(x< y\Rightarrow x^2< x^2+3y< x^2+3x< \left(x+2\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+3y=\left(x+1\right)^2\Rightarrow3y=2x+1\Rightarrow x=\frac{3y-1}{2}\)
\(\Rightarrow y^2+3\left(\frac{3y-1}{2}\right)=b^2\Leftrightarrow2y^2+9y-3=2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4y+9\right)^2-105=16b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4y-4b+9\right)\left(4y+3b+9\right)=105\)
Phương trình nghiệm nguyên này cho ta 2 nghiệm là \(y=1\Rightarrow x=1\left(l\right)\) và \(y=11\Rightarrow x=16\)
Vậy có đúng 1 cặp số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài
\(\Rightarrow\) Xác suất \(P=\frac{1}{C_{2019}^2}\)
Sao nhỏ vậy ta?
Câu 3:
Không gian mẫu: \(9.A_9^7\)
Ta thấy tổng 10 chữ số phân biệt từ 0 đến 9 bằng 45
Do đó, tổng 8 chữ số phân biệt tối đa bằng \(45-1-0=44\), tối thiểu bằng \(45-9-8=28\)
Mà để tổng 8 số chia hết cho 45 \(\Rightarrow\) chia hết cho 9
\(\Rightarrow\) Tổng 8 chữ số phải bằng 36
Để ý 1 điều nữa là \(45-36=9\), do đó, để 8 chữ số có tổng 36 thì ta chỉ cần loại đi 1 cặp số có tổng là 9 từ 10 chữ số 0-9
- Nếu cặp bị loại là (0;9): số cuối có 1 cách chọn (5), 7 vị trí còn lại có \(7!\) cách hoán vị
- Cặp bị loại là (4;5): số cuối có 1 cách chọn (0), 7 vị trí còn lại có \(7!\) cách hoán vị
- Cặp bị loại ko chứa 0 hoặc 5 (gồm 18; 27; 36): nếu số cuối là 0 thì 7 vị trí còn lại có 7! cách hoán vị, nếu số cuối là 5 thì vị trí đầu có 6 cách chọn, 6 vị trí còn lại có 6! cách hoán vị \(\Rightarrow3.\left(7!+6.6!\right)\)
Vậy tổng cộng có: \(7!+7!+3\left(7!+6.6!\right)\) số
Xác suất: \(P=\frac{5.7!+18.6!}{9.A_9^7}=\frac{53}{2268}\)
Cách làm kiểu vậy, bạn coi lại mấy bước tính
a)
Gọi q là công bội của \(\left(u_n\right)\). Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1q^4=51\\u_1q+u_1q^5=102\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{u_1+u_1q^4}{u_1q_1+u_1q^5}=\dfrac{51}{102}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1+q^4}{q+q^5}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1+q^4}{q\left(1+q^4\right)}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow q=2\).
Suy ra: \(u_1+2^4u_1=51\)\(\Leftrightarrow17u_1=51\)\(\Leftrightarrow u_1=3\).
b) \(S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\)\(\dfrac{3\left(1-2^n\right)}{1-2}=3\left(2^n-1\right)=3069\)
\(\Leftrightarrow2^n-1=1023\)\(\Leftrightarrow2^n=1024=2^{10}\)\(\Leftrightarrow n=10\).
Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 10.
c)
Có \(u_1.q^{n-1}=3.2^{n-1}=12288\)\(\Leftrightarrow2^{n-1}=4096=2^{12}\)\(\Leftrightarrow n-1=12\)\(\Leftrightarrow n=13\).
Vậy số hạng thứ 13 bằng 12 288.
a) \(100+98+96+...+2-97-95-93-...-3\)
= \(100+98+\left(96-97\right)+\left(94-95\right)+...+\left(2-3\right)\)
= \(100+98-95\) = \(103\)
b) \(2-4-6+8+10-12-14+16+...-102+104\)
= \(\left(2-4\right)+\left(-6+8\right)+\left(10-12\right)+\left(-14+16\right)+...+\left(-102+104\right)\)
= \(-2+2-2+2-2+...+2\) = \(0\)
c) \(1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+...-111-112+113+114\)
= \(\left(1+2\right)-\left(3+4\right)+\left(5+6\right)-\left(7+8\right)+...\left(113+114\right)\)
= \(3-7+11-15+19-23+...+219-223+227\)
= \(\left(3-7\right)+\left(11-15\right)+\left(19-23\right)+...+\left(219-223\right)+227\)
= \(-4-4-4-4-...-4+227\)
= \(54\left(-4\right)+227\) = \(-216+227\) = \(11\)
\(u_3=u_2^2-u_2+2=4\)
\(S_1=1=\left(2-1\right)^2=\left(u_2-1\right)^2\)
\(S_2=2.5-1=9=\left(4-1\right)^2=\left(u_3-1\right)^2\)
Dự đoán \(S_n=\left(u_{n+1}-1\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp:
- Với \(n=1;2\) đúng (đã kiểm chứng bên trên với \(S_1;S_2\))
- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)
Hay \(S_k=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)-1=\left(u_{k+1}-1\right)^2\)
Ta cần chứng minh:
\(S_{k+1}=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1=\left(u_{k+2}-1\right)^2\)
Thật vậy:
\(S_{k+1}=\left[\left(u_{k+1}-1\right)^2+1\right]\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)
\(=\left(u_{k+1}^2-2u_{k+1}+2\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)
\(=\left(u_{k+2}-u_{k+1}\right)\left(u_{k+2}+u_{k+1}-1\right)-1\)
\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}-u_{k+1}^2+u_{k+1}-1\)
\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}+2-u_{k+2}-1\)
\(=\left(u_{k+2}-1\right)^2\) (đpcm)