Câu hỏi của Lan Hương

Question

Chứng minh phương trình: $x^3+x^2a-bx+c=0$luôn có nghiệm với mọi a,b,c

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Đặt $f\left(x\right)=x^3+ax^2-bx+c$

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^3+ax^2-bx+c\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left(1+\dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty$

$\Rightarrow$ Luôn tồn tại $x=m>0$ đủ lớn sao cho $f\left(m\right)>0$

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^3+ax^2-bx+c\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=-\infty$

$\Rightarrow$ Luôn tồn tại $x=n< 0$ đủ nhỏ sao cho $f\left(n\right)< 0$

$\Rightarrow f\left(m\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)=0$ luôn có nghiệm

Câu trả lời:

Đặt $f\left(x\right)=x^3+ax^2-bx+c$

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^3+ax^2-bx+c\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left(1+\dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty$

$\Rightarrow$ Luôn tồn tại $x=m>0$ đủ lớn sao cho $f\left(m\right)>0$

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^3+ax^2-bx+c\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=-\infty$

$\Rightarrow$ Luôn tồn tại $x=n< 0$ đủ nhỏ sao cho $f\left(n\right)< 0$

$\Rightarrow f\left(m\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)=0$ luôn có nghiệm

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP