Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)
Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)
Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))
Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)
\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a2+b2+c2\(\ge\)2a(b+c)
Chứng minh:
Ta có 2a2+b2+c2=(a2+b2)+(a2+c2)
Áp dụng bđt cauchy ta có
(a2+b2)+(a2+c2)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)
Dự đoán dấu = xảy ra khi x=y=\(\dfrac{z}{2}\)
ta có: \(VT=3+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\)
\(=3+\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{x^2}{z^2}\right)+\left(\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge2\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:\(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{x^2}{z^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}\right)^2=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{z^2}\)
\(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4z}{x+y}\right)^2=\dfrac{8z^2}{\left(x+y\right)^2}\)(AM-GM)
do đó \(VT\ge5+\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(x+y\right)^2}{z^2}+\dfrac{8z^2}{\left(x+y\right)^2}\)
Đặt \(\dfrac{z}{x+y}=a\)(a>0)thì \(a\ge1\)do \(z\ge x+y\)
\(VT\ge8a^2+\dfrac{1}{2a^2}+5=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{1}{2a^2}+\dfrac{15}{2}a^2+5\ge\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{1}{2a^2}+\dfrac{25}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{1}{2a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{4a^2}}=1\)
do đó \(VT\ge1+\dfrac{25}{2}=\dfrac{27}{2}\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=1 hay \(x=y=\dfrac{z}{2}\)
\(\text{Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn }x+y+z=3\)
\(\text{Chứng minh rằng }T=\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
➤➤➤Chứng minh:
➢ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\left(\text{vì }x+y+z=3\right)=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Công vế theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
➢ \(\text{Đẳng thức xảy ra khi }x=y=z=1\)
➤ \(Max_T=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
ta có: \(VT=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}=3+\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}}\)
do đó \(VT\le3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}=\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3=VF\)
đẳng thức xảy ra khi x=y=z
Biến đổi tương đương, dễ dàng chứng minh Bđt:
\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4}{\left(x+z\right)^2}\ge\frac{4}{x^2+yz}\)\(\Rightarrow VT\ge\frac{x^2}{yz}+\frac{4}{x^2+yz}\)
Từ \(3y^2z^2+x^2=2\left(x+yz\right)\) ta có:
\(3y^2z^2+x^2\le x^2+1+2yz\)
\(\Rightarrow3y^2z^2-2yz-1\le0\Rightarrow yz\le1\)
Khi đó:
\(VT\ge x^2+\frac{4}{x^2+1}=\left(x^2+1\right)+\frac{4}{x^2+1}-1\ge3\)
Dấu = khi x=y=z=1
Với mọi x;y;z ta luôn có:
\(\left(x+y-1\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-2x-2y+1+z^2-z+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+\dfrac{5}{4}+2xy-2x-2y-z\ge0\)
\(\Leftrightarrow2+2xy-2x-2y\ge z\)
\(\Leftrightarrow2\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)