Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
\(x^2+2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8x-1\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=4x-2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=2x(2-\sqrt{x+\frac{1}{x}})\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=2x.\frac{2^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)}{2+\sqrt{x+\frac{1}{x}}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=2x.\frac{4x-x^2-1}{x\left(2+\sqrt{x+\frac{1}{x}}\right)}\)
\(\Leftrightarrow (x^2-4x+1)\left(1+\frac{2}{2+\sqrt{x+\frac{1}{x}}}\right )=0\)
Dễ thấy biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn 0, do đó
\(x^2-4x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x=2\pm \sqrt{3}\)
Câu 2:
Vì \(x+y+z=0\Leftrightarrow x=-(y+z)\)
\(\Rightarrow x^2=(y+z)^2=y^2+z^2+2yz\)
\(\Rightarrow y^2+z^2-x^2=-2yz\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{y^2+z^2-x^2}=\frac{x^2}{-2yz}=\frac{x^3}{-2xyz}\)
Hoàn toàn tương tự. ta có:
\(\frac{y^2}{z^2+x^2-y^2}=\frac{y^3}{-2xyz}; \frac{z^2}{x^2+y^2-z^2}=\frac{z^3}{-2xyz}\)
Do đó:
\(P=\frac{x^3+y^3+z^3}{-2xyz}\)
Ta biết rằng:
\(x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)\)
\(=-3(x+y)(y+z)(x+z)\)
\(=-3(-z)(-x)(-y)=3xyz\)
Suy ra \(P=\frac{3xyz}{-2xyz}=\frac{-3}{2}\)
ta có: \(VT=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}=3+\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}}\)
do đó \(VT\le3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}=\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3=VF\)
đẳng thức xảy ra khi x=y=z
2.
a/ Áp dụgn hệ quả bđt cô si,ta có :
\(A=xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)
Vậy GTLN A =a^2/3 khi x= y =z =a/3
b/Áp dụng BĐT Cô-Si dạng Engel,ta có :
\(B=\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+\dfrac{z^2}{z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)
Vậy GTNN của B = a^2/2 khi x=y=z =a/3
\(B=\dfrac{3x}{1-x}+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}+7\ge2\sqrt{\dfrac{3x}{1-x}.\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}}+7=7+4\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^2\)
Vậy min B = \(\left(2+\sqrt{3}\right)^2\) khi \(\dfrac{3x}{1-x}=\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}\Leftrightarrow x=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)
Lời giải:Vì $x^2+y^2+z^2=2$ nên:
$P=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
$=3+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
$\leq 3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$
(theo BĐT AM-GM)
$=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}=3$
Vậy $P_{\max}=3$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$