Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đức Hùng hình như áp dụng sai ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi
cho x,y là hai số dương thỏa mãn x2+y2=1
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\frac{x+y}{1+xy}\)
\(1=x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
\(P\ge\frac{x+y}{1+\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{4\left(x+y\right)}{4+\left(x+y\right)^2}\)
Đặt \(x+y=t\le\sqrt{2}\Rightarrow P=\frac{4t}{4+t^2}\)
Ta sẽ chứng minh \(\frac{4t}{4+t^2}\ge\frac{2\sqrt{2}}{3}\Leftrightarrow t^2-3\sqrt{2}t+4\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-\sqrt{2}\right)\left(t-2\sqrt{2}\right)\le0\) (luôn đúng \(\forall t\le\sqrt{2}\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Dễ thấy P>0. Ta có: \(P^2-\frac{8}{9}=\frac{\left(x-y\right)^2\left(x^2+4xy+y^2\right)}{9\left(xy+1\right)^2}\)
Suy ra \(P\ge\frac{2\sqrt{2}}{3}\). Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
P/s: Phân tích trên chỉ đúng khi \(x^2+y^2=1\) :))