Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)
Ta có \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=10-2xy\)
\(\Rightarrow x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2=100-40xy+2x^2y^2\)
\(\Rightarrow P=\left(xy\right)^4+101-40xy+2x^2y^2\)
\(=\left[\left(xy\right)^4-8\left(xy\right)^2+16\right]+10\left[\left(xy\right)^2-4xy+4\right]+45\)
\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\)
\(\Rightarrow P\ge45\)
Dấu "=" xảy ra khi xy=2
Lại có \(x+y=\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{10}-y\Rightarrow xy=\sqrt{10}y-y^2=2\)
\(\Rightarrow y^2-\sqrt{10y}+2=0\)
Ta có \(\Delta=10-8=2\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 45 khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)
\(A=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)
\(=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)
\(=\left[10-2xy\right]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1\)
\(=2x^2y^2+x^4y^4-40xy+101\)
\(=\left(x^4y^4-8x^2y^2+16\right)+10\left(x^2y^2-4xy+4\right)+45\)
\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\ge45\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{10}\\xy=2\end{cases}}\)
\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)
mà \(^{x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=5}\)
=>\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\ge25\)
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)
\(\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\)
\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra tai x=y=1/2
Bài này nhiều bạn đăng rồi, vô lục câu hỏi của CTV Lê Tài Bảo Châu đó, kéo xuống là thấy.
Hì , giải đc rùi nha.
Vì \(x,y\in R\)
\(\Rightarrow\left(x+2\right).\left(y+2\right)=\frac{25}{4}\)
Min \(P=\sqrt{1+x^4}+\sqrt{1+y^4}\)
- Dự đoán \(x=y=\frac{1}{2}\)
- Sử dụng BĐT : \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\) ( Với a,b > 0 )
=> \(1+x^4=16.\frac{1}{16}+a^4=16.\left(\frac{1}{4}\right)^2+a^2\ge\frac{[16.\frac{1}{4}+a^2]^2}{17}\)
\(=\frac{(a^2+4)^2}{17}\)
=> \(1+y^4\ge\frac{\left(y^2+4\right)^2}{17}\)
=> \(P\ge\frac{x^2+y^2+8}{\sqrt{17}}\)
\(\Leftrightarrow P\sqrt{17}=\frac{1}{5}\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{5}\left(x^2+\frac{1}{4}+y^2+\frac{1}{4}\right)+8-\frac{2}{5}\)
\(\ge\frac{2xy}{5}+\frac{4}{5}\left(x+y\right)+8-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}[xy+2\left(x+y\right)]+8-\frac{2}{5}\)
Theo giả thiết \(\left(x+2\right)\left(y+2\right)=\frac{25}{4}\)
\(\Leftrightarrow xy+2\left(x+y\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow P\sqrt{17}\ge\frac{2}{5}.\frac{9}{4}+8-\frac{2}{5}=\frac{17}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Điểm rơi \(x=y=\frac{1}{2}\)