Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +...+ 52012.
S = (5 + 52 + 53 + 54) + 55(5 + 52 + 53 + 54)+....+ 52009(5 + 52 + 53 + 54)
Vì (5 + 52 + 53 + 54) = 780 chia hết cho 65
Vậy S chia hết cho 65
b. Gọi số cần tìm là a ta có: (a - 6) chia hết cho 11; (a - 1) chia hết cho 4; (a - 11) chia hết cho 19.
(a - 6 + 33) chia hết cho 11; (a - 1 + 28) chia hết cho 4; (a - 11 + 38) chia hết cho 19.
(a + 27) chia hết cho 11; (a + 27) chia hết cho 4; (a + 27) chia hết cho 19.
Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a + 27 nhỏ nhất
Suy ra: a + 27 = BCNN (4;11; 19).
Từ đó tìm được: a = 809
A = 10n + 18n - 1 = 10n - 1 - 9n + 27n
Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó 
nên 
* Vậy A chia hết cho 27
1) a. Câu hỏi của Hàn Vũ Nhi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
a, 472014 - 472013 = 472013 . (47 - 1) = 472013 . 46 = 472013 . 2 . 23 ⋮ 23
Vậy 472014 - 472013 ⋮ 23
b, 542014 + 542015 = 542014 . (1 + 54) = 542014 . 55 = 542014 . 5 .11 ⋮ 11
Vậy 542014 + 542015 ⋮ 11
c, 273 + 95 = (33)3 + (32)5 = 39 + 310 = 39 . (1 + 3) = 39 . 4 ⋮ 4
Vậy 273 + 95 ⋮ 4
d, a(2a - 3) - 2a(a + 1) = 2a2 - 3a - 2a2 - 2a = -5a = (-1) . 5 . a ⋮ 5
Vậy a(2a - 3) - 2a(a + 1) ⋮ 5 với mọi a nguyên
Bài làm :
a) 472014 - 472013 = 472013 . (47 - 1) = 472013 . 46 = 472013 . 2 . 23 ⋮ 23
=> Điều phải chứng minh
b) 542014 + 542015 = 542014 . (1 + 54) = 542014 . 55 = 542014 . 5 .11 ⋮ 11
=> Điều phải chứng minh
c) 273 + 95 = (33)3 + (32)5 = 39 + 310 = 39 . (1 + 3) = 39 . 4 ⋮ 4
=> Điều phải chứng minh
d) a(2a - 3) - 2a(a + 1) = 2a2 - 3a - 2a2 - 2a = -5a = (-1) . 5 . a ⋮ 5
=> Điều phải chứng minh
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+2012=a\\2y-2013=b\\3z+2014=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P=a^5+b^5+c^5\\S=a+b+c\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(P-S=a^5-a+b^5-b+c^5-c=a\left(a^4-1\right)+b\left(b^4-1\right)+c\left(c^4-1\right)\)
\(\Rightarrow P-S=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)+\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\left(b^2+1\right)+\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\left(c^2+1\right)\)
Nhận thấy \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right);\left(b-1\right)b\left(b+1\right);\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\) đều là tích của 3 số nguyên liên tiếp =>đều chia hết cho 3
\(\Rightarrow P-S\) luôn chia hết cho 3
\(\Rightarrow\) Nếu P chia hết cho 3 thì S chia hết cho 3 và ngược lại (đpcm)
4. \(A=\left(a^{2012}-a^{2008}\right)+\left(b^{2012}-b^{2008}\right)+\left(c^{2012}-c^{2008}\right)\)
\(=a^{2008}\left(a^4-1\right)+b^{2008}\left(b^4-1\right)+c^{2008}\left(c^4-1\right)\)
\(=a^{2008}\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)+b^{2008}\left(b^2-1\right)\left(b^2+1\right)+c^{2008}\left(c^2-1\right)\left(c^2+1\right)\)
\(=a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)+b^{2007}\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\left(b^2+1\right)+c^{2007}\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\left(c^2+1\right)\)
Dễ thấy a-1, a, a+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\)
Tương tự đối với b và c ta suy ra \(A⋮6\) (1)
Xét các số dư của a cho 5
- Nếu \(a⋮5\) thì \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)
- Nếu a chia 5 dư 1 thì \(\left(a-1\right)⋮5\) hay \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)
- Nếu a chia 5 dư 2 hoặc 3 thì \(\left(a^2+1\right)⋮5\) hay \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)
- Nếu a chia 5 dư 4 thì \(\left(a+1\right)⋮5\) nên \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)
Như vậy \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\) \(\forall a\in Z_+\)
Tương tự \(\left[b^{2007}\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\left(b^2+1\right)\right]⋮5\)
và \(\left[c^{2007}\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\left(c^2+1\right)\right]⋮5\)
Do đó \(A⋮5\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(A⋮30\)
phần a sai đề nha bạn
b,Ta có
\(2\equiv2\left(mod13\right)\)
\(\Rightarrow2^{12}\equiv1\left(mod13\right)\)
\(\Rightarrow2^{12.5}.2^{10}\equiv1.2^{10}\left(mod13\right)\)
\(\Rightarrow2^{60}.2^{10}\equiv1024\left(mod13\right)\)
\(\Rightarrow2^{70}\equiv10\left(mod13\right)\)\(\left(1\right)\)
Lại có:
\(3\equiv3\left(mod13\right)\)
\(\Rightarrow3^6\equiv1\left(mod13\right)\)
\(\Rightarrow3^{6.11}.3^4\equiv1.3^4\left(mod13\right)\)
\(\Rightarrow3^{66}.3^4\equiv81\left(mod13\right)\)
\(\Rightarrow3^{70}\equiv3\left(mod13\right)\)\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow2^{70}+3^{70}\equiv13\equiv0\left(mod13\right)\)
c, Ta có
\(17\equiv-1\left(mod18\right)\)
\(\Rightarrow17^{19}\equiv-1\left(mod18\right)\)\(\left(1\right)\)
Lại có
\(19\equiv1\left(mod18\right)\)
\(\Rightarrow19^{17}\equiv1\left(mod18\right)\)\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow17^{19}+19^{17}\equiv0\left(mod18\right)\)
\(\Rightarrow17^{19}+19^{17}⋮18\)