Question

[Minh Quang]

cho đường tròn (O) bán kính R , đường thẳng d không đi qua O và cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, từ 1 điểm C thuộc đường thẳng d, A nằm giữa B và C, vẽ tiếp tuyến CN với đường tròn , N thuộc cung lớn AB . Gọi E là trung điểm của AB 

a) cm 4 điểm C,E,O,N cùng thuộc 1 đường tròn

b) cm CN² = CA.CB

c) Gọi H là hình chiếu của N trên OC . cm ˆOABOAB^= ˆCHACHA^.

Tia CO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm D,I , I nằm giữa C và D. Cm IC.DH = DC.IH

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: ΔOAB cân tại O

mà OE là đường cao

nên OE\(\perp\)AB

Xét tứ giác OECN có \(\widehat{OEC}+\widehat{ONC}=90^0+90^0=180^0\)

nên OECN  là tứ giác nội tiếp

=>O,E,C,N cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

\(\widehat{CNA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến NC và dây cung NA

\(\widehat{ABN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN

Do đó: \(\widehat{CNA}=\widehat{ABN}\)

Xét ΔCNA và ΔCBN có

\(\widehat{CNA}=\widehat{CBN}\)

\(\widehat{NCA}\) chung

Do đó: ΔCNA~ΔCBN

=>\(\dfrac{CN}{CB}=\dfrac{CA}{CN}\)

=>\(CN^2=CA\cdot CB\)

c: Xét ΔOCN vuông tại N có NH là đường cao

nên \(CH\cdot CO=CN^2\)

=>\(CH\cdot CO=CA\cdot CB\)

=>\(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA}{CO}\)

Xét ΔCHA và ΔCBO có

\(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA}{CO}\)

\(\widehat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCBO

=>\(\widehat{CHA}=\widehat{CBO}\)

mà \(\widehat{CBO}=\widehat{OAB}\)(ΔOAB cân tại O)

nên \(\widehat{CHA}=\widehat{OAB}\)