Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(MA^2+MB^2=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\)
\(=\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI.}\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI.}\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IB}\)
\(=2MI^2+IA^2+IB^2+2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)\)
\(=2MI^2+IA^2+IB^2\)
\(=2MI^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow MI^2=\frac{a^2}{4}\)
Suy ra \(M\)thuộc đường tròn tâm \(I\)bán kính \(\frac{a}{2}\).
Lấy \(I\)là trung điểm của \(AB\).
Khi đó \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\)
\(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}\)
\(=MI^2-\frac{a^2}{4}=2a^2\Leftrightarrow MI^2=\frac{9}{4}a^2\)
Suy ra \(M\)thuộc đường tròn tâm \(I\)bán kính \(\frac{3a}{2}\).
Bài 1:
a/ Gọi \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MA^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\\MB^2=\left(x-9\right)^2+\left(y-7\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-9\right)^2+\left(y-7\right)^2=90\)
\(\Leftrightarrow x^2-10x+y^2-8y+21=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2+\left(y-4\right)^2=20\)
Quỹ tích M là đường tròn tâm \(I\left(5;4\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{5}\)
b/ Gọi I là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left(25;19\right)\)
\(2MA^2-3MB^2=k^2\Leftrightarrow2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2-3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2=k^2\)
\(\Leftrightarrow2MI^2+2IA^2-3MI^2-3IB^2=k^2\)
\(\Leftrightarrow MI^2=2IA^2-3IB^2-k^2=600-k^2\)
- Với \(k^2=600\Rightarrow M\) trùng I
- Với \(k^2>600\Rightarrow\) ko tồn tại điểm M thỏa mãn
- Với \(k^2< 600\Rightarrow\) quỹ tích M là đường tròn tâm \(I\left(25;19\right)\) bán kính \(R=\sqrt{600-k^2}\)