K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
27 tháng 1 2019

Bên dưới là chứng minh bằng 3 hay 6 bạn? Sao bằng 6 được nhỉ?

28 tháng 1 2019

\(\text{Ta có: }\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi a=1

cách c/m:

\(\text{Xét }a^2=1\Leftrightarrow\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}=2\)

\(\text{Xét }a^2>1.\text{Đặt }a^2=k+1\left(k>0\right)\text{ta có:}\frac{k+1}{1}+\frac{1+k-k}{k+1}=\frac{k}{1}+1+1-\frac{k}{k+1}=2+\frac{k^2}{k+1}>2\left(\text{Vì }k>0\right)\)

\(\text{Xét }a^2< 1.\text{Đặt }a^2=1-k,\text{ta có: }\frac{1-k}{1}+\frac{1-k+1}{1-k}=1-\frac{k}{1}+1+\frac{1}{1-k}=2+\frac{k^2-k+1}{1-k}\)

\(k^2-k+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)(1)

\(1-k=a^2,a^2>0\Rightarrow1-k>0\)(2)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{k^2-k+1}{1-k}>0\Rightarrow2+\frac{k^2-k+1}{1-k}>2\)

\(\text{ }\frac{b^2}{1}+\frac{1}{b^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi b=1

\(\frac{c^2}{1}+\frac{1}{c^2}\ge2\) Dấu = xảy ra khi c=1

\(\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)+\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge6\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

??? ghi sai đề ko bạn? =3 chứ ?

p/s: sai sót bỏ qua >:

28 tháng 1 2019

:V quên

dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\pm1\)

số mũ chẵn =.='

24 tháng 11 2017

fkfkbang14

18 tháng 10 2018

Giả thiết có: abc+bca+cda+dab = a+b+c+d+\(\sqrt{2012}\)

\(\Leftrightarrow\) (abc+bca+cda+dab-a-b-c-d)2 =2012

\(\Leftrightarrow\) \(\left[\left(abc-c\right)+\left(dab-d\right)+\left(bcd-b\right)+\left(cda-a\right)\right]^2\) = 2012

\(\Leftrightarrow\) \(\left[c\left(ab-1\right)+d\left(ab-1\right)+b\left(cd-1\right)+a\left(cd-1\right)\right]^2\) = 2012

\(\Leftrightarrow\) \(\left[\left(ab-1\right)\left(c+d\right)+\left(ab-1\right)\left(a+b\right)\right]^2\) = 2012

Áp dụng BĐT Bunhia cho 2 cặp số: (ab-1 ; a+b);(cd-1 ; c+d)

Ta có: \(\left[\left(ab-1\right)\left(c+d\right)+\left(ab-1\right)\left(a+b\right)\right]^2\) \(\le\) \(\left[\left(ab-1\right)^2+\left(a+b\right)^2\right]\left[\left(cd-1\right)^2+\left(c+d\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow\) 2012 \(\le\) ( a2b2-2ab+1+a2+2ab+b2) (c2d2-2cd+1+c2+2cd+d2)

\(\Leftrightarrow\) 2012\(\le\) ( a2b2 +a2+b2+1)(c2d2+c2+d2+1)

\(\Leftrightarrow\) 2012 \(\le\) (a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1) (đpcm)

8 tháng 10 2017

a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

(Luôn đúng)

Vậy ta có đpcm.

Đẳng thức khi \(a=b=c\)

b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)

(Luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức khi \(a=b=1\)

Các bài tiếp theo tương tự :v

g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)

i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)

Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm

j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm

5 tháng 6 2018

câu 1:

\(a^2+1\ge2a\\ b^2+1\ge2b\\ c^2+1\ge2c\\ a^2+b^2\ge2ab\\ b^2+c^2\ge2bc\\ a^2+c^2\ge2ac\\ \Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ac\right)=2.6=12\\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

6 tháng 6 2018

Câu 2)
\(P=\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{4}{xy}+2xy\)

\(P=\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{1}{4xy}+\dfrac{1}{8xy}+\dfrac{29}{8xy}+2xy\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\left(\dfrac{1}{8xy}+2xy\right)+\dfrac{29}{8xy}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) và bất đẳng thức Cô-si, ta được:

\(P\ge\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right)+2\sqrt{\dfrac{1}{8xy}.2xy}+\dfrac{29}{2\left(x+y\right)^2}\)

\(x+y\le1\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}.4+2.\dfrac{1}{2}+\dfrac{29}{2}=\dfrac{35}{2}\)

Vậy GTNN của P = \(\dfrac{35}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{2}.\)

Chúc bạn học tốt!

1 tháng 8 2017

Đầu tiên chứng minh:

\(a^3+b^3+c^3\ge ba^2+cb^2+ac^2\)

Ta có:

\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(a^3+a^3+b^3\right)+\left(b^3+b^3+c^3\right)+\left(c^3+c^3+a^3\right)\)

\(\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ba^2+cb^2+ac^2\)

Quay lại bài toán ta có:

\(\frac{a^2}{1+b-a}+\frac{b^2}{1+c-b}+\frac{c^2}{1+a-c}\)

\(=\frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}+\frac{b^4}{b^2+b^2c-b^3}+\frac{c^4}{c^2+c^2a-c^3}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=1\)

1 tháng 8 2017

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{a^2}{1+b-a}+a^2\left(1+b-a\right)\ge2a^2\)

\(\frac{b^2}{1+c-b}+b^2\left(1+c-b\right)\ge2b^2\)

\(\frac{c^2}{1+a-c}+c^2\left(1+a-c\right)\ge2c^2\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT+a^2b+b^2c+c^2a-a^3-b^3-c^3\ge1\)

Cần chứng minh \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\)

Tiếp tục xài AM-GM \(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)

TƯơng tự rồi cộng theo vế ta có ĐPCM

Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)