Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có; \(\frac{a+b-3c}{c}+4=\frac{b+c-3a}{a}+4=\frac{c+a-3b}{b}+4 \)
<=>\(\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b} \)
Mà a,b,c>0=>a+b+c>0
=>\(\frac{1}{a}=\frac{1}{c}=\frac{1}{b} \)
=>a=b=c(đpcm)
Theo tc của DTSBN
\(\frac{a+b-3c}{c}=\frac{b+c-3a}{a}=\frac{c+a-3b}{b}=\frac{a+b-3c+b+c-3a+c+a-3b}{c+a+b}\)
\(=\frac{-a-b-c}{a+b+c}=-1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-3c=-c\\b+c-3a=-a\\c+a-3b=-b\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2c\\b+c=2a\\c+a=2b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
Lời giải:
$3\text{VT}=\frac{3a}{3a+1}+\frac{3b}{3b+1}+\frac{3c}{3c+1}$
$=1-\frac{1}{3a+1}+1-\frac{1}{3b+1}+1-\frac{1}{3c+1}$
$=3-\left[\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\right]$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\geq \frac{9}{3a+1+3b+1+3c+1}=\frac{9}{3(a+b+c)+3}=\frac{9}{3.6+3}=\frac{3}{7}$
$\Rightarrow 3\text{VT}\leq 3-\frac{3}{7}=\frac{18}{7}$
$\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{6}{7}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau :
\(\dfrac{a}{3b}=\dfrac{b}{3c}=\dfrac{c}{3d}=\dfrac{d}{3a}=\dfrac{a+b+c+d}{3\left(a+b+c+d\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Vì a + b + c + d khác 0 . Ta có :
\(a=\dfrac{1}{3}.3b=b\)(1)
\(b=\dfrac{1}{3}.3c=c\)(2)
\(c=\dfrac{1}{3}.3d=d\)(3)
\(d=\dfrac{1}{3}.3a=a\)(4)
Từ (1);(2);(3) và (4)
=> a = b = c = d
Lời giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c+a-b}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c+a-b+2a+b-c}{a+b+c}\)
\(=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2\)
Do đó: \(\left\{\begin{matrix} 2b+c-a=2a\\ 2c+a-b=2b\\ 2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b=3a-c\\ 2c=3b-a\\ 2a=3c-b\end{matrix}\right.\) và \(\left\{\begin{matrix} c=3a-2b\\ a=3b-2c\\ b=3c-2a\end{matrix}\right.\)
Suy ra: \(P=\frac{(3a-2b)(3b-2c)(3c-2a)}{(3a-c)(3b-a)(3c-b)}=\frac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\frac{1}{8}\)
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}\)<=>\(\dfrac{2b+c}{a}-1=\dfrac{2c+a}{b}-1=\dfrac{2a+b}{c}-1\)
<=>\(\dfrac{2b+c}{a}=\dfrac{2c+a}{b}=\dfrac{2a+b}{c}=\dfrac{2b+c+2c+a+2a+b}{a+b+c}=\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=3\)=>\(\left\{{}\begin{matrix}2b+c=3a\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2b=c\\3a-c=2b\end{matrix}\right.\\2c+a=3b\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3b-2c=a\\3b-a=2c\end{matrix}\right.\\2a+b=3c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3c-2a=b\\3c-b=2a\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) thay vào
\(P=\dfrac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}=\dfrac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\dfrac{1}{8}\)
Lời giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c-b+a2a+b-c}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2\)
\(\left\{\begin{matrix} 2b+c-a=2a\\ 2c-b+a=2b\\ 2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b+c=3a\\ 2c+a=3b\\ 2a+b=3c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=3a-2b\\ a=3b-2c\\ b=3c-2a\end{matrix}\right.\Rightarrow (3a-2b)(3b-2c)(3c-2a)=abc\) (1)
Và \(\left\{\begin{matrix} 2b=3a-c\\ 2c=3b-a\\ 2a=3c-b\end{matrix}\right.\Rightarrow (3a-c)(3b-a)(3c-b)=8abc\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(M=\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
b/
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
* \(\left\{{}\begin{matrix}2b+c-a=2a\\2c-b+a=2b\\2a+b-c=2c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c=3a\\2c+a=3b\\2a+b=3c\end{matrix}\right.\)
+)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3a-2b\\a=3b-2c\\b=3c-2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)=abc\left(1\right)\)
+) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b=3c-a\\2c=3b-a\\2a=3c-b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)=8abc\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{abc}{8abc}=\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{8}\)
Ta có: \(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{2b+c-a}{a}=\dfrac{2c-b+a}{b}=\dfrac{2a+b-c}{c}=\dfrac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{2b+c-a}{a}=2\Leftrightarrow2b+c-a=2a\Leftrightarrow2b+c=3a\Leftrightarrow c=3a-2b\)
Và : \(2b+c=3a\Leftrightarrow2b=3a-c\)
Tương tự: \(3b-2c=a\) và \(2c=3b-a\)
\(3c-2a=b\) và \(2a=3c-b\)
Thay vào Q, ta được:
\(Q=\dfrac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\dfrac{1}{8}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b-3c}{c}=\dfrac{b+c-3a}{a}=\dfrac{c+a-3b}{b}=\dfrac{a+b-3c+b+c-3a+c+a-3b}{c+a+b}=\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=-1\)
\(\dfrac{a+b-3c}{c}=-1\Rightarrow a+b-3c=-c\Rightarrow a+b-2c=0\left(1\right)\)
\(\dfrac{b+c-3a}{a}=-1\Rightarrow b+c-3a=-a\Rightarrow b+c-2a=0\left(2\right)\)
\(\dfrac{c+a-3b}{b}=-1\Rightarrow a+c-3b=-b\Rightarrow a+c-2b=0\left(3\right)\)
Từ (1), (2) ta có:\(a+b-2c=b+c-2a\Rightarrow3a=3c\Rightarrow a=c\left(4\right)\)
Từ (1), (3) ta có:\(a+b-2c=a+c-2b\Rightarrow3b=3c\Rightarrow b=c\left(5\right)\)
Từ (4), (5)\(\Rightarrow a=b=c\)