Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a)
Sử dụng pp biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)
Ta có đpcm.
b) Áp dụng công thức của phần a ta có:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}\)
Tiếp tục áp dụng công thức phần a: \(\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}\)
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
\(4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Rõ ràng ở bài này không thể dùng Svacxo trực tiếp.
\(\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2+ab}=\left(\frac{x}{ab}+\frac{3}{a^2+ab+b^2}\right)+\frac{1-x}{ab}\), với \(0\le x\le1\)
Ta có \(\frac{1-x}{ab}\ge\frac{4\left(1-x\right)}{\left(a+b\right)^2}=4\left(1-x\right)\) và
\(\frac{x}{ab}+\frac{3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2}{ab+\left(a^2+ab+b^2\right)}=\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+ab+b^2}\ge4\left(1-x\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2\)\(\forall0\le x\le1\)
Dấu "=" khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{x}}{ab}=\frac{\sqrt{3}}{a^2+ab+b^2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=\frac{1}{2}\\x=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy số thực x thích hợp để điều chỉnh là \(x=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+ab+b^2}\ge4\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{3}\right)^2=\frac{8}{3}+\frac{16}{3}=8\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{1}{1+ab}+\frac{a^2}{a+ab}+\frac{b^2}{b+ab}\geq \frac{(1+a+b)^2}{1+ab+a+ab+b+ab}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+1)^2}{a+b+1+3ab}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+1)^2}{a+b+1+3(3-a-b)}=\frac{(a+b+1)^2}{10-2(a+b)}\)
Theo giả thiết:
\(3=a+b+ab\Leftrightarrow 4=a+b+ab+1=(a+1)(b+1)\)
\(\leq \left (\frac{a+b+2}{2}\right)^2\) (theo BĐT AM-GM)
suy ra \(a+b+2\geq 4\Leftrightarrow a+b\geq 2\) (với \(a,b>0\) )
Do đó: \((a+b+1)^2\geq 9\) (1)
\(10-2(a+b)\leq 10-2.3=4; 10-2(a+b)=4+2ab>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{10-2(a+b)}\geq \frac{1}{6}\) (2)
Từ \((1);(2)\Rightarrow A\geq \frac{(a+b+1)^2}{10-2(a+b)}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1\)
Hong Ra On Cái đó là BĐT Cauchy này nè :
\(xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Áp dụng vào:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\le\dfrac{\left(a+b+1+1\right)^2}{4}=\left(\dfrac{a+b+2}{2}\right)^2\)
\(VT=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\)
Xét \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}+\dfrac{b^3}{b^2+ab+bc+ac}+\dfrac{c^3}{c^2+ab+bc+ac}\)
\(\Leftrightarrow VT=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có :
\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3a}{4}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(VT+\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{a+b+c}{4}\left(đpcm\right)\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b=c=3\)
\(1.\) Gỉa sử : \(\sqrt{25-16}< \sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(\Leftrightarrow3< 1\) ( Vô lý )
\(\Rightarrow\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(2.\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< a-b\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b< a-b\)
\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\)
\(\Leftrightarrow2\left(b-\sqrt{ab}\right)< 0\)
Ta có :\(a>b\Leftrightarrow ab>b^2\Leftrightarrow\sqrt{ab}>b\)
\(\RightarrowĐpcm.\)
\(2a.\) Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(a;b\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(b.\) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\left(x,y>0\right)\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\left(y,z>0\right)\left(2\right)\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xz}}\left(x,z>0\right)\left(3\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , ta được :
\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\)
\(3a.\sqrt{x-4}=a\left(a\in R\right)\left(x\ge4;a\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow x-4=a^2\)
\(\Leftrightarrow x=a^2+4\left(TM\right)\)
\(3b.\sqrt{x+4}=x+2\left(x\ge-2\right)\)
\(\Leftrightarrow x+4=x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(TM\right)\\x=-3\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)
KL....
1) Đặt \(\dfrac{b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}}{ab}\) là A
\(\)\(A=\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}\)
\(\left(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}\right)^2=\dfrac{a-1}{a^2}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}=\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}=\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\sqrt{\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+\left(1-\dfrac{1}{a}\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{1}{b}-1\right)}\le\dfrac{1}{2}\)
Cộng vế theo vế của 2 BĐT vừa chứng minh, ta được:
\(A\le1\left(đpcm\right)\)
Xét: \(a^2+\dfrac{2}{a^3}=\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{a^3}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 5 số dương trên, ta có: \(\left(1\right)\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{3}a^2.\dfrac{1}{a^3}.\dfrac{1}{a^3}}=5\sqrt[5]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{5\sqrt[5]{9}}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{3}a^2=\dfrac{1}{a^3}\Leftrightarrow a=\sqrt[5]{3}\)
Lời giải:
Ta có:
\(\sum \frac{1}{a+ab}\geq \frac{3}{abc+1}\Leftrightarrow \sum \frac{abc+1}{a(b+1)}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{b+1}+\sum\frac{1}{a(b+1)}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow \sum \frac{b(c+1)}{b+1}+\sum \frac{a+1}{a(b+1)}\geq 6\)
BĐT trên luôn đúng vì theo BĐT AM-GM thì:
\(\sum \frac{b(c+1)}{b+1}+\sum \frac{a+1}{a(b+1)}=\frac{b(c+1)}{b+1}+\frac{c(a+1)}{c+1}+\frac{a(b+1)}{a+1}+\frac{a+1}{a(b+1)}+\frac{b+1}{b(c+1)}+\frac{c+1}{c(a+1)}\)
\(\geq 6\sqrt[6]{\frac{abc(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}{abc(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}}=6\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{1}{2}\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{1}{ab}\ge4\)
\(ab+\dfrac{1}{ab}=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{ab.\dfrac{1}{16ab}}+\dfrac{15}{16}.\dfrac{1}{ab}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}.4=\dfrac{17}{4}\)
Dấu "=" khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)