Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacopxki ta có :
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
b) Ta có : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3ab+3bc+3ac\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
Câu 9.
a) Ta có: \(\left(a-1\right)^2\ge0\)(điều hiển nhiên)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\left(đpcm\right)\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:
\(a+1\ge2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c}\)
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)(Vì abc = 1)
Câu 10.
a) Ta có: \(-\left(a-b\right)^2\le0\)(điều hiển nhiên)
\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
b) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
Có: \(2ab\le a^2+b^2;2bc\le b^2+c^2;2ac\le a^2+c^2\)(BĐT Cauchy)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Ta có:\(P^2=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\left(\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}+\frac{ac}{b}.\frac{ab}{c}+\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}\right)\)
\(=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+2\)
Đặt \(A=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}\)
\(\Rightarrow2A=\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(2A\ge2\sqrt{\frac{b^2c^2}{a^2}.\frac{a^2c^2}{b^2}}+2\sqrt{\frac{a^2c^2}{b^2}.\frac{a^2b^2}{c^2}}+2\sqrt{\frac{a^2b^2}{c^2}.\frac{b^2c^2}{a^2}}\)
\(=2\sqrt{c^4}+2\sqrt{a^4}+2\sqrt{b^4}=2a^2+2b^2+2c^2=2\)
\(\Rightarrow A\ge1\Rightarrow P^2=A+2\ge1+2=3\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\).Nên GTNN của P là \(\sqrt{3}\) đạt được khi \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Bạn ơi thật ra bạn ko cần dùng Cauchy, dùng BunhiaCopxki phát cuối là đc ^^. Mình giải ra lâu rồi :v