Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+ a + b + c = 2
+ a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác
\(\Rightarrow a< b+c\)
=> a + a < a + b + c
=> 2a < 2 => a < 1
+ Tương tự ta cm đc : b < 1; c < 1
+ \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
=> \(1-\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)-abc>0\)
\(\Rightarrow2-2\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)-2abc>0\)
\(\Rightarrow2-\left(a+b+c\right)^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2abc>0\)
( do a + b + c = 2 )
\(\Rightarrow2-\left(a^2+b^2+c^2\right)-2abc>0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)
Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
Vì a; b; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta có : \(a+b>c;a+c>b;b+c>a\)
\(\Rightarrow c\left(a+b\right)>c.c\Rightarrow ac+bc>c^2\)
\(\Rightarrow b\left(a+c\right)>b.b\Rightarrow ab+bc>b^2\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)>a.a\Rightarrow ab+ac>a^2\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\left(ac+bc\right)+\left(ab+bc\right)+\left(ab+ac\right)>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)>a^2+b^2+c^2\) (đpcm)
Nhân 2 vế với a>0 ta có
ab+ac>a^2 (1)
bc+ba>b^2 (2)
ac+cb>c^2 (3)
Cộng hai vế của (1) , (2) , (3) ta được 2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2 ( đpcm)
theo bất đẳng thức tam giác , ta có : a+b>c =>a+b+c>2c =>2>2c =>c<1 => 1-c<0
tương tự : 1-a<0 ; 1-b<0
=> (1-a)(1-b)(1-c)<0
=>1-b-a+ab-c+bc+ac-abc<0
=>2-2a-2b-2c+2ab+2bc+2ac-2abc<0 (1)
mà a+b+c=2 =>(a+b+c)^2=4 =>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=4
=>2ab+2bc+2ac=4-a^2-b^2-c^2
thay vào (1) ta được : 2-4+4-a^2-b^2-c^2-2abc<0
=> 2-(a^2+b^2+c^2+2abc)<0
=>a^2+b^2+c^2+2abc<2
Ta có:
a < b + c
=> a + a <a + b + c
=> 2a < 2
--> a < 1
Tương tự ta có : b < 1,c < 1
Suy ra: (1 − a)(1 − b)(1 − c) > 0
⇔ (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0
⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc
Nên abc < − 1 + ab + bc + ca
⇔ 2abc < − 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < a^2 + b^2 + c^2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < (a + b + c)^2 − 2
⇔ a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < 2^2−2 = 2
⇔ dpcm
ukm!khó bn nhỉ?đúng là 1 bài toán hay vs đáng cân nhắc ,tham khảo thêm.....mọi người nhớ kb với mik nha!!!yêu nhìu>_<
a) theo BĐT tam giác ta có
a+b>c
<=> a+b+c >2c
<=> 2>2c <=> 1>c
tương tự ta đc 1>a ; 1>b
2.
a, Có : (a+b+c).(1/a+1/b+1/c)
>= \(3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
= 9
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
2.
b, Xét : 2(a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9 ( theo bđt ở câu a đã c/m )
<=> (a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9/2
<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b + 3 >= 9/2
<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b >= 9/3 - 3 = 3/2
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
oh my dog toán lớp 8 đây á
mik làm đc hình như mỗi câu a thôi thì phải
Theo bất đẳng thức tam giác: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\Leftrightarrow a+b+c>2c\Leftrightarrow2c< 2\Leftrightarrow c< 1\\b+c>a\Leftrightarrow a+b+c>2a\Leftrightarrow2a< 2\Leftrightarrow a< 1\\a+c>b\Leftrightarrow a+b+c>2b\Leftrightarrow2b< 2\Leftrightarrow b< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)\(\Rightarrow\left(1-b-a+ab\right)\left(1-c\right)>0\) \(\Rightarrow1-c-b+bc-a+ac+ab-abc>0\) \(\Rightarrow1+bc+ac+ab>2+abc\Leftrightarrow bc+ac+ab>1+abc\) \(\Rightarrow2ab+2bc+2ac>2+2abc\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2>2+2abc+a^2+b^2+c^2\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+2< 4\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)(đpcm)