K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 5 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+1)(c^2+4)=(a^2+1^2)(c^2+2^2)\geq (ac+2)^2\)
\((b^2+2)(d^2+8)=(b^2+\sqrt{2}^2)(d^2+\sqrt{8}^2)\geq (bd+\sqrt{2.8})^2=(bd+4)^2\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên thu được đpcm
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} \frac{a}{c}=\frac{1}{2}\\ \frac{b}{d}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
6 tháng 1 2019
Áp dụng bđt AM-GM:
\(a^2+4\ge2\sqrt{4a^2}=4a\)
\(b^2+4\ge2\sqrt{4b^2}=4b\)
\(c^2+4\ge2\sqrt{4c^2}=4c\)
\(d^2+4\ge2\sqrt{4d^2}=4d\)
Nhân theo vế suy ra đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2018
Lời giải:
Theo BĐT Schur bậc 3:
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq 27+12(ab+bc+ac)-18(a+b+c)-8abc=-27+12(ab+bc+ac)-8abc\)
\(\Rightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27\Rightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3\)
Do đó:
\(a^2+b^2+c^2+abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3\)
\(=(a+b+c)^2-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)-3=6-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\)
Mặt khác theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\geq 6-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\geq 6-\frac{2}{3}.3=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2018
Nếu bạn không được sử dụng thẳng BĐT Schur bậc 3 thì có thể CM nó thông qua BĐT AM-GM ngược dấu.
30 tháng 12 2022
3: =>a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2>=a^2c^2+2abcd+b^2d^2
=>a^2d^2-2abcd+b^2c^2>=0
=>(ad-bc)^2>=0(luôn đúng)
3 tháng 8 2017
Chứng minh rằng: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
29 tháng 5 2017
Bài 4:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-shwarz dạng engel ta có:
\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{9}=1\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 1
\(\Rightarrowđpcm\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1 2020
Bài 1:
Ta có:
\(a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{2}=\frac{(a-b)^2}{2}\geq 0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
21 tháng 1 2017
Áp dụng liên tiếp AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\begin{align*} \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}&\ge \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left (a^2+b^2 \right )}}\\ &=\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\\ &=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left ( \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}+1+1 \right )\left [\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2 \right ]}\\ &\ge \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left [ \dfrac{3}{2}\left (a+\dfrac{b}{2} \right )+\dfrac{3}{4}b+a+c \right ]\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left ( \dfrac{5}{2}a+\dfrac{3}{2}b+c \right ) \end{align*}\)
Chứng minh tương tự, cộng lại ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
21 tháng 1 2017
bài này cuốn hút thật, lâu lắm ms thấy . xí bài này nhé nghĩ đã lát quay lại làm
Áp
Áp dụng BĐT Bunhiacopski với 2 bộ số( a,b,c,d)(1,1,1,1) ta có:
(a.1+b.1+c.1+d.1)2\(\le\)(1+1+1+1)(\(a^2+b^2+c^2+d^2)\)
<=>\(4(a^2+b^2+c^2+d^2)\ge2^2 \)
<=>\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\)
Dấu bằn xảy ra<=> a=b=c=d=\(\frac{1}{2} \)