Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}=\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\right)\)
\(=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\ge\sqrt{3}\cdot\frac{3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}}{1}=3\sqrt{3}\)
Khi \(x=y=z=1\)
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
\(\text{Tìm x:}\)
\(a.x\left(x-1\right)-3x+3x=0\)
\(x\left(x-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}}\)
\(b.3x\left(x-2\right)+10-5x=0\)
\(3x^2-6x+10-5x=0\)
\(3x^2-11x+10=0\)
\(3x^2-11x=-10\)(bn xem lại đề nhé)
\(c.x^3-5x^2+x-5=0\)
\(x^3-5x^2+x=5\)
\(d.x^4-2x^3+10x^2-20x=0\)
bài 1:phân tích thành phân tử
a> x^2-6x-y^2+9
= (x-3)^2 -y^2
= (x-3 -y) (x-3+y)
b>x^2-xy-8x+8y
= x(x-y) - 8(x-y)
= (x-8) (x-y)
c>25-4x^2-4xy-y^2
= 5^2 - (2x + y)^2
= (5 - 2x -y) (5 +2x+y)
d>xy-xz-y+z
= x(y-z) - (y-z)
= (x-1) (y-z)
e>x^2-xz-yz+2xy+y^2
= (x+y)^2 - z(x+y)
= (x+y-z) (x+y)
g>x^2-4xy+4y^2-z^2-4zt-4t^2
= (x-2y)^2 - (z + 2t)^2
= (x-2y -x-2t) (x-2y + z +2t)
bài 2:tìm X bt
a>x.(x-1)-3x+3x=0
x (x-1) =0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}}\)
Vậy x=0 và x=1
b>3x.(x-2)+10-5x=0
3x(x-2) - 5 (x-2)=0
(3x-5) (x-2) =0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x-5=0\\x-2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x=5\\x=2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\x=2\end{cases}}}}\)
c>x^3-5x^2+x-5=0
x^2 (x-5) + (x-5) =0
(x^2 +1)(x-5) =0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+1=0\\x-5=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=-1\\x=5\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\in\varphi\\x=5\end{cases}}}\)
Vậy x=5
d>x^4-2x^3+10x^2-20x=0
x^3 (x-2) + 10x(x-2) =0
(x^3 + 10x) (x-2) =0
x(x^2 + 10) (x-2) =0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x^2+10=0\\x-2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x^2=-10\\x=2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x\in\varphi\\x=2\end{cases}}}}\)
Vậy x=0 và x=2
a, A=xy+7x-3y-21 b,B= xyz+xz-yz-z+xy+x-y-1
A=(xy+7x)-(3y+21) B=(xyz+xz)-(yz+z)+(xy+x)-(y+1)
A=x(y+7)-3(y+7) B=xz(y+1)-z(y+1)+x(y+1)-(y+1)
A=(y+7)(x-3) B=(y+1)(xz-z+x-1)
Thay x=103, y=-17 vào biểu thức ta có: B=(y+1)[(xz-z)+(x-1)]
A=(-17+7)(103-3) B=(y+1)[z(x-1)+(x-1)]
A=(-10)(100) B=(y+1)(x-1)(z+1)
A=-1000 Thay x=-9, y=-21, z=-31 vào biểu thức ta có:
B=(-21+1)(-9-1)(-31+1)
B=(-20)(-10)(-30)
B=200(-30)
B=-6000
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}(1)\)
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9(2)\)
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:
\(3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2=1\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{xy+yz+xz}\geq 21(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\geq 9+21=30\)Vậy $P_{\min}=30$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}(1)\)
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9(2)\)
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:
\(3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2=1\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{xy+yz+xz}\geq 21(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\geq 9+21=30\)Vậy $P_{\min}=30$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Sửa thành tìm GTLN nhé !
Với x,y,z>0 chia 2 vế của \(xy+yz+xz=xyz\) cho \(xyz\) ta có :
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{4x+3y+z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT kia:
\(\frac{1}{x+4y+3z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z}\right);\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\leΣ\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)=Σ\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)