Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=0\\ \Rightarrow yz+xz+xy=0\)
\(A=\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}\\ \Leftrightarrow A=\frac{x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3}{x^2y^2z^2}\)
Ta có :\(yz+xz+xy=0\)
\(\Rightarrow y^3x^3+x^3z^3+x^3y^3=-3xyz\left(y^2z+yz^2+x^2z+xz^2+x^2y+xy^2+2xyz\right)\)
\(=-3xyz\left(yz+xz\right)\left(xz+xy\right)\left(yz+xy\right)\)
\(=-3xyz\left(-xy\right)\left(-yz\right)\left(-xz\right)\\ =3x^2y^2z^2\)
\(\Rightarrow A=\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=3\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)nhân lần lượt với x; y; z, ta có:
\(1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}=0\)(1)
\(1+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}=0\)(2)
\(1+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}=0\)(3)
Từ: (1); (2) và (3) => \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}=-3\)(*)
Mặt khác: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)quy đồng ta có:
\(\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=0\)hay xy + yz + zx = 0
Hay: \(\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right).\left(xy+yz+zx\right)=0\)
Khai triển, ta có:
\(\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}=0\)
Vậy: \(\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\right)=3\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\) (nhân 2 vế với\(xyz\ne0\))
=> x2 + 2yz = x2 + 2yz - xy - yz - xz = x2 - xz - xy + yz = x(x - z) - y(x - z) = (x - y)(x - z).
Tương tự,y2 + 2xz = (y - x)(y - z) ; z2 + 2xy = (z - x)(z - y)
\(\Rightarrow\frac{yz}{x^2+2yz}+\frac{xz}{y^2+2xz}+\frac{xy}{z^2+2xy}=\frac{yz}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{xz}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{xy}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=1\)
#)Góp ý :
Mời bạn tham khảo :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/
Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !
Tham khảo qua đây nè :
http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017
tk cho mk nhé
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{1}{6x+y+z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{64}(\frac{6}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Tương tự:
$\frac{1}{x+6y+z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{6}{y}+\frac{1}{z})$
$\frac{1}{x+y+6z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{6}{z})$
Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$A\leq \frac{1}{64}(\frac{8}{x}+\frac{8}{y}+\frac{8}{z})=\frac{1}{8}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{xy+yz+xz}{8xyz}=\frac{4xyz}{8xyz}=\frac{1}{2}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $x=y=z=\frac{3}{4}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}(1)\)
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9(2)\)
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:
\(3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2=1\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{xy+yz+xz}\geq 21(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\geq 9+21=30\)Vậy $P_{\min}=30$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}(1)\)
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yz+xz}\geq \frac{9}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{9}{(x+y+z)^2}=9(2)\)
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:
\(3(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^2=1\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{7}{xy+yz+xz}\geq 21(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\geq 9+21=30\)Vậy $P_{\min}=30$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$