Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(HPT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\\..\\...\end{cases}}\)
đến đây cộng vế 3 PT ta sẽ tính được \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) khi đó thay vào PT đầu giải
Xét (x,y,z)=(0,0,m),(0,n,0),(p,0,0) là nghiệm của hệ(m,n,p\(\in\)R)
Xét xyz\(\ne\)0
hpt\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\\\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)^2\\\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\end{cases}}\)
Đặt\(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)
hệ tt
\(\hept{\begin{cases}a^2+a+3=\left(b+c\right)^2\\b^2+b+4=\left(c+a^2\right)\\c^2+c+5=\left(a+b\right)^2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a+b+c+\frac{1}{2}\right)\left(b+c-a-\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{4}\\\left(a+b+c+\frac{1}{2}\right)\left(c+a-b-\frac{1}{2}\right)=\frac{15}{4}\\\left(a+b+c+\frac{1}{2}\right)\left(a+b-c-\frac{1}{2}\right)=\frac{19}{4}\end{cases}}}\)
đặt rồi tự giải tiếp
\(\hept{\begin{cases}\left(x^2+1\right)y=2x^2\\\left(y^2+1\right)z=2y^2\\\left(z^2+1\right)x=2z^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(I\right)\hept{\begin{cases}y=\frac{2x^2}{x^2+1}\\z=\frac{2y^2}{y^2+1}\\x=\frac{2z^2}{z^2+1}\end{cases}}\)
XÉT CÁC TRƯỜNG HỢP:
1) Cả 3 số x,y,z bằng 0: thế vào hệ ta thấy chúng thỏa mãn
Vậy hệ pt có nghiệm x=y=z=0
2) Nếu có ít nhất một số khác 0. VD: \(x\ne0\)
Từ \(x=\frac{2z^2}{z^2+1}\)\(\Rightarrow x>0\Rightarrow y>0,z>0\)
Nhân từng vế của \(\left(I\right)\)ta có:
\(\frac{8x^2y^2z^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}=xyz\)\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)=8xyz\)
MẶT KHÁC: \(x^2+1\ge2x\),\(y^2+1\ge2y\),\(z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\ge8xyz\)
DẤU "=" XẢY RA \(\Leftrightarrow x=1,y=1,z=1\)
VẬY HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right),\left(1;1;1\right)\)
Nhận xét: Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó phải thoả \(x,y,z\ge0\).
------
Kí hiệu hàm số \(f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2+1}\).
Giả sử \(0\le x\le y\) (\(x,y\) này ko liên quan đến hệ). Khi đó ta phát biểu \(f\left(x\right)\le f\left(y\right)\) và biến đổi tương đương thì thấy đúng.
------
Quay lại hệ. Viết lại hệ dưới dạng: \(\hept{\begin{cases}x=f\left(z\right)\\y=f\left(x\right)\\z=f\left(y\right)\end{cases}}\)
Do hệ là bất biến theo phép hoán vị vòng quanh nên ko mất tính tổng quát chỉ cần xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: \(0\le x\le y\le z\). Khi đó theo CM trên thì \(f\left(x\right)\le f\left(y\right)\le f\left(z\right)\) hay \(y\le z\le x\).
Vậy \(x=y=z\) trong trường hợp này.
Trường hợp 2: \(0\le x\le z\le y\). Khi đó theo CM trên thì \(f\left(x\right)\le f\left(z\right)\le f\left(y\right)\) hay \(y\le x\le z\).
Vậy \(x=y=z\) trong trường hợp này.
Tổng hợp lại, trong cả 2 trường hợp ta chỉ cần giải MỘT pt đó là \(\left(x^2+1\right)x=2x^2\).
Pt có nghiệm \(x=0,x=1\).
Vậy \(x=y=z=0,x=y=z=1\) là 2 nghiệm của hệ.
Ta có hpt \(\left\{{}\begin{matrix}xy+3y-5x-15=xy\\2xy+30x-y^2-15y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=3y-15\\6\left(3y-15\right)-y^2-15y=0\end{matrix}\right.\)
Ta có pt (2) \(\Leftrightarrow3y-y^2-80=0\Leftrightarrow y^2-3y+80=0\left(VN\right)\)
=> hpy vô nghiệm
c) Ta có hpt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)\left(xy+x+y\right)=30\\xy\left(x+y\right)+xy+x+y=11\end{matrix}\right.\)
Đặt j\(xy\left(x+y\right)=a;xy+x+y=b\), ta có hpt
\(\left\{{}\begin{matrix}ab=30\\a+b=11\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=5;b=6\\a=6;b=5\end{matrix}\right.\)
với a=5;b=6, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=5\\xy+x+y=6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=1;x+y=5\\xy=5;x+y=1\end{matrix}\right.\)
đến đây thì thế y hoặc x ra pt bậc 2, còn TH còn lại bn tự giải nhé !