Question

[hue tran]

giúp mình làm câu này với

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn. Gọi H là điểm chính giữa cung AM. Tia BH cắt AM tại I. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt BH tại K. Nối AH cắt BM tại E.

1. Chứng minh tam giác BAE là tam giác cân;

2. Chứng minh KH.KB=KE2;

3. Đường tròn tâm B, bán kính BA cắt AM tại N. Chứng minh tứ giác BIEN nội tiếp.

4. Tìm vị trí của M để góc KAM bằng 90o

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

1)  Ta thấy: Tứ giác AHMB nội tiếp đường tròn => ^HAM=^HBM; ^HMA=^HBA

Do H là điểm chính giữa của cung AM nên \(\Delta\)AHM cân tại H => ^HAM=^HMA

Từ đó suy ra: ^HBM=^HBA hay ^HBE=^HBA => BH là phân giác ^ABE

H thuộc nửa đường tròn đường kính AB => AH\(\perp\)BH hay BH\(\perp\)AE

Xét \(\Delta\)BAE: BH là phân giác ^ABE; BH\(\perp\)AE => \(\Delta\)BAE cân đỉnh B (đpcm).

2) Xét \(\Delta\)KHA và \(\Delta\)KAB:  ^KHA=^KAB (=90⁰); ^AKB chung => \(\Delta\)KHA ~ \(\Delta\)KAB (g.g)

\(\Rightarrow\frac{KH}{KA}=\frac{KA}{KB}\Rightarrow KH.KB=KA^2\)(1)

Ta có: AE\(\perp\)BK tại H và AH=EH => A đối xứng với E qua BK => AK=KE. Thay vào (1):

\(\Rightarrow KH.KB=KE^2\)(đpcm).

3) Dễ thấy: 2 điểm A và N cùng nằm trên (B) => BA=BN => \(\Delta\)ABN cân đỉnh B

Mà BM\(\perp\)AN => BM là đường trung trực của AN hay BE là trung trực của AN

=> EA=EN => \(\Delta\)AEN cân đỉnh E = >^EAN=^ENA (2)

Lại có: ^HAM=^HBM (Cùng chắn cung HM) hay ^EAN=^EBI (3)

(2); (3) => ^ENA=^EBI hay ^ENI=^EBI => Tứ giác BIEN nội tiếp đường tròn (đpcm).

4) Ta có: ^KAB=90⁰. Mà KA và AB đều cố định

Vậy để ^KAM=90⁰ thì điểm M phải trùng với điểm B.