Question

[ILoveMath]

Giải phương trình bằng phương pháp đưa về dạng ước số:

a) x²-x=y²-1

b) x²+12x=y²

c) x²+xy-2y-x-5=0

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a.

$x^2-x=y^2-1$
$\Leftrightarrow x^2-x+1=y^2$

$\Leftrightarrow 4x^2-4x+4=4y^2$

$\Leftrightarrow (2x-1)^2+3=(2y)^2$

$\Leftrightarrow 3=(2y)^2-(2x-1)^2=(2y-2x+1)(2y+2x-1)$

Đến đây xét các TH:

TH1: $2y-2x+1=1; 2y+2x-1=3$

TH2: $2y-2x+1=-1; 2y+2x-1=-3$

TH3: $2y-2x+1=3; 2y+2x-1=1$

TH4: $2y-2x+1=-3; 2y+2x-1=-1$

b.

$x^2+12x=y^2$

$\Leftrightarrow (x+6)^2=y^2+36$

$\Leftrightarrow 36=(x+6)^2-y^2=(x+6-y)(x+6+y)$

Đến đây xét trường hợp tương tự phần a.

c.

$x^2+xy-2y-x-5=0$

$\Leftrightarrow x^2+xy=x+2y+5$
$\Leftrightarrow 4x^2+4xy=4x+8y+20$

$\Leftrightarrow (2x+y)^2=4x+8y+20+y^2$

$\Leftrightarrow (2x+y)^2-2(2x+y)+1=y^2+6y+21$

$\Leftrightarrow (2x+y-1)^2=(y+3)^2+12$
$\Leftrightarrow (2x+y-1)^2-(y+3)^2=12$

$\Leftrightarrow (2x+y-1-y-3)(2x+y-1+y+3)=12$

$\Leftrightarrow (2x-4)(2x+2y+2)=12$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+y+1)=3$

Đến đây đơn giản rồi.

Answer 2

[ILoveMath]

a) \(x^2-x=y^2-1\)

\(\Rightarrow x^2-x+1=y^2\)

\(\Rightarrow4x^2-4x+4=4y^2\)

\(\Rightarrow4x^2-4x+1+3=\left(2y\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2y\right)^2=-3\)

\(\Rightarrow\left(2x-2y+1\right)\left(2x+2y+1\right)=-3\)

Vì \(x,y\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-2y+1\right)\left(2x+2y+1\right)\in Z\\\left(2x-2y+1\right)\left(2x+2y+1\right)\inƯ\left(7\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có bảng:

x-y	-1	0	-2	1
x+y	1	-2	0	-1
x	0	-1	-1	0
y	1	-1	-1	-1

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;1\right);\left(-1;-1\right);\left(-1;-1\right);\left(0;-1\right)\right\}\)