Câu hỏi của Bùi Đức Anh

Question

Giải hệ pt sau $\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.$

Trương Huy Hoàng · Accepted Answer

$\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.$Cộng 2 vế của 2 BĐT trên ta được:x2 - xy + y2 + z2 + yz + 1 = 3$\Leftrightarrow$ 2x2 - 2xy + 2y2 + 2z2 + 2yz - 4 = 0$\Leftrightarrow$ x2 - 2xy + y2 + y2 + 2yz + z2 + x2 - 4 + z2 = 0$\Leftrightarrow$ (x - y)2 + (y + z)2 + z2 + (x - 2)(x + 2) = 0Ta có: (x - y)2 $\ge$ 0 với mọi x; y(y + z)2 $\ge$ 0 với mọi y; zz2 $\ge$ 0 với mọi z$\Rightarrow$ (x - y)2 + (y + z)2 + z2 $\ge$ 0 với mọi x; y; z$\Rightarrow$ (x - 2)(x + 2) $\ge$ 0 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\y+z=0\z=0\\left[{}\begin{matrix}x=2\x=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$Với x = 2 ta có: (2 - y)2 + (y + z)2 + z2 = 0Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\y+z=0\z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\z=0\end{matrix}\right.$Thử lại thấy KTMVới x = -2 ta có: (-2 - y)2 + (y + z)2 + z2 = 0Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow$ $\left\{{}\begin{matrix}-2-y=0\y+z=0\z=0\end{matrix}\right.$ (Vô nghiệm)Vậy hpt vô nghiệm Mk ko chắc lắm ;-; (ko bt đúng ko :v) Câu trả lời: $\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.$Cộng 2 vế của 2 BĐT trên ta được:x2 - xy + y2 + z2 + yz + 1 = 3$\Leftrightarrow$ 2x2 - 2xy + 2y2 + 2z2 + 2yz - 4 = 0$\Leftrightarrow$ x2 - 2xy + y2 + y2 + 2yz + z2 + x2 - 4 + z2 = 0$\Leftrightarrow$ (x - y)2 + (y + z)2 + z2 + (x - 2)(x + 2) = 0Ta có: (x - y)2 $\ge$ 0 với mọi x; y(y + z)2 $\ge$ 0 với mọi y; zz2 $\ge$ 0 với mọi z$\Rightarrow$ (x - y)2 + (y + z)2 + z2 $\ge$ 0 với mọi x; y; z$\Rightarrow$ (x - 2)(x + 2) $\ge$ 0 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\y+z=0\z=0\\left[{}\begin{matrix}x=2\x=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$Với x = 2 ta có: (2 - y)2 + (y + z)2 + z2 = 0Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\y+z=0\z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\z=0\end{matrix}\right.$Thử lại thấy KTMVới x = -2 ta có: (-2 - y)2 + (y + z)2 + z2 = 0Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow$ $\left\{{}\begin{matrix}-2-y=0\y+z=0\z=0\end{matrix}\right.$ (Vô nghiệm)Vậy hpt vô nghiệm Mk ko chắc lắm ;-; (ko bt đúng ko :v)

Trần Minh Hoàng · Answer

Xét pt thứ 2 là pt bậc 2 so với ẩn z.Ta có $\Delta=y^2-4\ge0\Leftrightarrow y^2\ge4$.Do đó ta có: $x^2-xy+y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge3$.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $y^2=4;x=\dfrac{1}{2}y$.+) y = 2 $\Rightarrow x=1;z=-1$.+) $y=-2\Rightarrow x=-1;z=1$.Câu trả lời: Xét pt thứ 2 là pt bậc 2 so với ẩn z.Ta có $\Delta=y^2-4\ge0\Leftrightarrow y^2\ge4$.Do đó ta có: $x^2-xy+y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge3$.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $y^2=4;x=\dfrac{1}{2}y$.+) y = 2 $\Rightarrow x=1;z=-1$.+) $y=-2\Rightarrow x=-1;z=1$.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP