Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thêm điều kiện : x,y,z khác 0 và x+y+z khác 0
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)\(\Rightarrow\) \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{xz+xy+yz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
Do đó : x + y = 0 hoặc x + z = 0 hoặc y + z = 0
Từ đó thay x,y,z vào từng trường hợp rồi suy ra đpcm
1/x+1/y+1/z=1/xyz
1/x+1/y=1/xyz-1/z
(x+y)(xy+yz+z^2)=0
(x+y)(x+z)(y+z)=0
x+y=0 suy ra x=-y
x+z=o suy ra z=x
z+y=0 suy ra y=-z
voi x=-y suy ra 1/x^2016+1/y^2016+1/z^2016=1/-y^2016+1/y^2016+1/z^2016=1/z^2016 (1)
1/x^2016+y^2016+z^2016=1/-y^2016+y^2016+z^2016 =1/z^2016 (2)
tu 1 va 2 suy ra dpcm
tinh gum minh cai chc chan bai nay dung
\(PT\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2=4xy+4yz\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2-4xy-4yz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(4z^2-4yz+y^2\right)+2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(2z-y\right)^2+2y^2=0\)
Vì \(\left(2x-y\right)^2+\left(2z-y\right)^2+2y^2\ge0\forall x;y;z\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=0\)
Đặt \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{x+y},\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{y+z},\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{z+x}\)
Đề trở thành: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\), tính \(P=\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\) Tương đương \(ab+bc=-ac\)
\(P=\dfrac{b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{\left(ab+bc\right)\left(a^2b^2-ab^2c+b^2c^2\right)+a^3c^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{-ac\left(a^2b^2-ab^2c+b^2c^2\right)+a^3c^3}{a^2b^2c^2}\)
\(=\dfrac{a^2c^2-a^2b^2+ab^2c-b^2c^2}{ab^2c}=\dfrac{ac}{b^2}-\dfrac{a}{c}+1-\dfrac{c}{a}\)\(=ac\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{1}{c^2}\right)-\dfrac{a}{c}+1-\dfrac{c}{a}\) (do \(\dfrac{1}{b}=-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{c}\) tương đương \(\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{1}{c^2}\))
\(=3\)
Vậy P=3