Câu hỏi của Họ Và Tên

Question

Giải hệ phương trình $\left\{{}\begin{matrix}x^3-3y^2+3y=1\y^3-3z^2+3z=1\z^3-3x^2+3x=1\end{matrix}\right.$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$x^3=3y^2-3y+1=3\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}$$\Rightarrow x\ge\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}>\dfrac{1}{2}$Tương tự ta có $y;z>\dfrac{1}{2}$$\Rightarrow x+y-1>0;y+z-1>0;z+x-1>0$TH1: $x\ge y\Rightarrow x^3\ge y^3\Rightarrow3y^2-3y+1\ge3z^2-3z+1$$\Rightarrow y^2-z^2-y+z\ge0\Rightarrow\left(y-z\right)\left(y+z+1\right)\ge0$$\Rightarrow y-z\ge0\Rightarrow y\ge z\Rightarrow x\ge z$ (1)Cũng do $y\ge z\Rightarrow y^3\ge z^3$$\Rightarrow3z^2-3z+1\ge3x^2-3x+1\Rightarrow z^2-x^2-z+x\ge0$$\Rightarrow\left(z-x\right)\left(z+x+1\right)\ge0\Rightarrow z\ge x$ (2)Từ (1);(2) $\Rightarrow x=y=z$TH2: $x\le y$, hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được $x=y=z$Thay vào hệ ban đầu:$\left\{{}\begin{matrix}x^3-3x^2+3x=1\y^3-3y^2+3y=1\z^3-3z^2+3z=1\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow x=y=z=1$Câu trả lời: $x^3=3y^2-3y+1=3\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}$$\Rightarrow x\ge\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}>\dfrac{1}{2}$Tương tự ta có $y;z>\dfrac{1}{2}$$\Rightarrow x+y-1>0;y+z-1>0;z+x-1>0$TH1: $x\ge y\Rightarrow x^3\ge y^3\Rightarrow3y^2-3y+1\ge3z^2-3z+1$$\Rightarrow y^2-z^2-y+z\ge0\Rightarrow\left(y-z\right)\left(y+z+1\right)\ge0$$\Rightarrow y-z\ge0\Rightarrow y\ge z\Rightarrow x\ge z$ (1)Cũng do $y\ge z\Rightarrow y^3\ge z^3$$\Rightarrow3z^2-3z+1\ge3x^2-3x+1\Rightarrow z^2-x^2-z+x\ge0$$\Rightarrow\left(z-x\right)\left(z+x+1\right)\ge0\Rightarrow z\ge x$ (2)Từ (1);(2) $\Rightarrow x=y=z$TH2: $x\le y$, hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được $x=y=z$Thay vào hệ ban đầu:$\left\{{}\begin{matrix}x^3-3x^2+3x=1\y^3-3y^2+3y=1\z^3-3z^2+3z=1\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow x=y=z=1$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP