Câu hỏi của Anime

Question

Giải hệ: $\left\{{}\begin{matrix}x^2y+y^2z+z^2x=1\xy^2+yz^2+zx^2=1\x^3+y^3+z^3=-3\end{matrix}\right.$

Lê Song Phương · Accepted Answer

Từ $x^3+y^3+z^3=-3$

$\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-6$

$\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)-3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)+\left(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3\right)+\left(z^3+3z^2x+3zx^2+x^3\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(z+x\right)^3=0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+y+z+z+x=0\x+y=y+z=z+x\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\x=y=z\end{matrix}\right.$

Xét TH $x=y=z$, thay vào pt thứ 3 của hệ, ta có $3x^3=-3\Leftrightarrow x=-1$ $\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;-1\right)$. Thử lại vào 2 pt đầu, ta thấy rõ ràng không thỏa mãn.

Xét TH $x+y+z=0$, ta sẽ có $x^3+y^3+z^3=3xyz$ $\Rightarrow xyz=-1$

Thay vào pt đầu tiên của hệ, thu được $x^2y+y^2z+z^2x=-xyz$ $\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz=0$. Tương tự, ta có $xy^2+yz^2+zx^2+xyz=0$. Cộng theo vế 2 pt này, ta được $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0$ $\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\y+z=0\z+x=0\end{matrix}\right.$. Ta xét TH $x+y=0$. Do $x+y+z=0$ nên $z=0$ và $x=-y$, không thỏa mãn pt thứ 3. Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

Vậy hpt đã cho vô nghiệm.Câu trả lời:  Từ $x^3+y^3+z^3=-3$

$\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-6$

$\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)-3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)+\left(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3\right)+\left(z^3+3z^2x+3zx^2+x^3\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(z+x\right)^3=0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+y+z+z+x=0\x+y=y+z=z+x\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\x=y=z\end{matrix}\right.$

Xét TH $x=y=z$, thay vào pt thứ 3 của hệ, ta có $3x^3=-3\Leftrightarrow x=-1$ $\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;-1\right)$. Thử lại vào 2 pt đầu, ta thấy rõ ràng không thỏa mãn.

Xét TH $x+y+z=0$, ta sẽ có $x^3+y^3+z^3=3xyz$ $\Rightarrow xyz=-1$

Thay vào pt đầu tiên của hệ, thu được $x^2y+y^2z+z^2x=-xyz$ $\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz=0$. Tương tự, ta có $xy^2+yz^2+zx^2+xyz=0$. Cộng theo vế 2 pt này, ta được $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0$ $\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\y+z=0\z+x=0\end{matrix}\right.$. Ta xét TH $x+y=0$. Do $x+y+z=0$ nên $z=0$ và $x=-y$, không thỏa mãn pt thứ 3. Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

Vậy hpt đã cho vô nghiệm.

〄κҽᏁ_℘ċム · Answer

Nhớ tick nha

⎧⎪⎨⎪⎩3x2+xz−yz+y2=2(1)y2+xy−yz+z2=0(2)x2−xy−xz−z2=2(3){3�2+��−��+�2=2(1)�2+��−��+�2=0(2)�2−��−��−�2=2(3)

Lấy (2) cộng (3) ta được

x2+y2−yz−zx=2�2+�2−��−��=2 (4)

Lấy (1) - (4) ta được

2x(x+z)=02�(�+�)=0

⇔[x=0x=−z⇔[�=0�=−�

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và zCâu trả lời: Nhớ tick nha

⎧⎪⎨⎪⎩3x2+xz−yz+y2=2(1)y2+xy−yz+z2=0(2)x2−xy−xz−z2=2(3){3�2+��−��+�2=2(1)�2+��−��+�2=0(2)�2−��−��−�2=2(3)

Lấy (2) cộng (3) ta được

x2+y2−yz−zx=2�2+�2−��−��=2 (4)

Lấy (1) - (4) ta được

2x(x+z)=02�(�+�)=0

⇔[x=0x=−z⇔[�=0�=−�

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP