Câu hỏi của An Sơ Hạ

Question

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z|$ = $\sqrt{2} $ và $(z+2i)(\overline{z} -2)$ là số thuần ảo ?

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Đặt $z=x+yi\Rightarrow x^2+y^2=2$$\left(z+2i\right)\left(\overline{z}-2\right)=\left(x+\left(y+2\right)i\right)\left(x-2-yi\right)$$=x\left(x-2\right)+y\left(y+2\right)+\left[\left(x-2\right)\left(y+2\right)-xy\right]i$$=x^2+y^2-2x+2y+\left(2x-2y-4\right)i$Số phức đã cho thuần ảo khi $\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=2\x^2+y^2-2x+2y=0\2x-2y-4\ne0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=2\y=x-1\x-y-2\ne0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2};\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right);\left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2};\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$Có 2 số phức thỏa mãnCâu trả lời: Đặt $z=x+yi\Rightarrow x^2+y^2=2$$\left(z+2i\right)\left(\overline{z}-2\right)=\left(x+\left(y+2\right)i\right)\left(x-2-yi\right)$$=x\left(x-2\right)+y\left(y+2\right)+\left[\left(x-2\right)\left(y+2\right)-xy\right]i$$=x^2+y^2-2x+2y+\left(2x-2y-4\right)i$Số phức đã cho thuần ảo khi $\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=2\x^2+y^2-2x+2y=0\2x-2y-4\ne0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=2\y=x-1\x-y-2\ne0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2};\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right);\left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2};\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$Có 2 số phức thỏa mãn

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP